Cómo resolver esta pregunta de geometría

Answer 1

Supongo que tu diagrama está mal.

Aquí está mi punto de vista.

Para fines prácticos, suponga que [math] CAP [/ math] es una línea recta. Mi figura se tambalea un poco fuera de escala.

[matemáticas] O [/ matemáticas] es el centro del círculo.

La figura anterior coincide con todas las condiciones requeridas en la pregunta. Verificarlo

Cuando la línea [matemática] CA [/ matemática] pasa a través del centro [matemática] O [/ matemática], es un diámetro. Por lo tanto, el ángulo [matemático] ABC [/ matemático] es [matemático] 90 grados [/ matemático]. ( porque un ángulo en un semicírculo siempre es un ángulo recto )

Como el ángulo [matemático] ABC = 90 grados [/ matemático], el ángulo [matemático] ABQ = 90 grados [/ matemático] también. ( par lineal )

Como el ángulo [matemático] ABQ = 90 grados [/ matemático], [matemático] PQ [/ matemático] se convierte en un diámetro. (a la inversa de la primera razón utilizada )

Por lo tanto, el ángulo [matemático] APQ = 90 grados [/ matemático].

Es decir, [matemática] ángulo CPQ = 90 grados [/ matemática].

Así es como lo haría.

Answer 2

CONSTRUCCIÓN: Draw [math] AB. [/matemáticas]

PRUEBA: Debido a que [math] AC [/ math] es un diámetro, por lo tanto,

[matemáticas] \ ángulo ABC = 90 ° \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Ahora, [math] ABQP [/ math] es un cuadrilátero cíclico, entonces,

[matemáticas] \ angle CPQ + \ angle ABQ = 180 ° \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ angle CPQ = 180 ° – \ angle ABQ = \ angle ABC \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ ángulo CPQ = 90 ° \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Answer 3

Primero vuelva a dibujar la figura para que el centro del círculo pequeño esté realmente en el segmento AC. Es difícil ver qué sucede con el dibujo tan distorsionado.

Siguiente sorteo del segmento AB. Esto crea dos triángulos similares: CAB y CQP. La razón por la que son similares es que comparten el ángulo C, y se puede mostrar que los lados son proporcionales. Son similares por SAS.

Recuerde el teorema del círculo que dice, desde cualquier punto fuera del círculo, el producto de las dos distancias al círculo en cualquier secante es el mismo que en cualquier otro.

Eso significa: (CA) (CP) = (CB) (CQ)

Entonces los lados están en proporción: CA / CB = CQ / CP

En el triángulo CAB, el ángulo en CBA es un ángulo recto porque está inscrito en un semicírculo (interceptando un arco de 180). Su medida es la mitad de 180 o 90.

Por lo tanto, es el ángulo correspondiente en el otro triángulo, el ángulo CPQ también es un ángulo recto.

Answer 4

Tenemos que hacer algunas construcciones aquí.
Únete a AB.

En círculo con el centro O, [matemáticas] \ ángulo ABC = 90 ^ {\ circ} [/ matemáticas] Por teorema del ángulo central.

Ahora CB es una línea recta, por lo tanto [matemática] \ angle ABQ = 180 – \ angle ABC = 90 ^ {\ circ} [/ math] Por par lineal.

En el otro círculo, [math] ABQP [/ math] es cíclico, es decir, opuestos [math] \ angle s [/ math] son ​​suplementos.
Por lo tanto,
[matemáticas] \ angle ABQ + \ angle APQ = 180 ^ {\ circ} [/ math]

O
[matemática] \ angle APQ = 90 ^ {\ circ} [/ math] Como [matemática] \ angle ABQ = 90 ^ {\ circ} [/ math]

Por lo tanto, Probado, [matemática] \ angle APQ = 90 ^ {\ circ} [/ math] o [math] \ angle CPQ = 90 ^ {\ circ} [/ math]

Answer 5

Nota: No he intentado el problema, porque resolverlo por ti no te ayudará, pero esto es lo que haría:

1. escriba todo lo que sabe sobre los círculos, especialmente en relación con los ángulos que se encuentran dentro de ellos en varios casos
2. escriba todo lo que sabe sobre diámetros en particular
3. anote todo lo que pueda deducir de estos, y en particular sobre los ángulos en cada parte, por ejemplo, cuáles suman 180 o 360
4. verifique y vuelva a verificar cualquier situación posible, como triángulos similares donde pueda deducir que un ángulo debe ser el mismo que otro debido a sus formas

en algún lugar entre ese lote deberías poder encontrar la respuesta.

(nota: probablemente ayudaría volver a dibujar el diagrama con la línea AC como diámetro real, ya que seguramente verá más de la realidad de la pregunta: los diámetros tienen propiedades especiales)

Answer 6

Dado que [math] AC [/ math] es un diámetro, entonces [math] \ angle ABC [/ math] es un ángulo recto.

Por la potencia de un teorema de puntos, [matemáticas] AC \ veces AP = AB \ veces AQ [/ matemáticas], por lo tanto, [matemáticas] \ dfrac {AC} {AQ} = \ dfrac {AB} {AP} [/ matemáticas]. Como [math] \ angle CAB [/ math] es lo mismo que [math] \ angle QAP [/ math], entonces [math] {\ bigtriangleup} ABC \ sim {\ bigtriangleup} APQ [/ math], por lo tanto, [math ] \ angle APQ [/ math] es un ángulo recto. QED

Answer 7

ÚNETE A AB

Entonces, ABPQ SERÁ UN CUADRILATERAL CÍCLICO

HENCE, ANGLE APQ = ANGLE CBA

PORQUE EL ÁNGULO DE UN CUADRILATERAL CÍCLICO ES IGUAL AL ​​ÁNGULO ALTERNO OPUESTO

AHORA EN TRIANGLE CBA, ANGLE CBA = 90 °

PORQUE EL ÁNGULO HECHO POR DIÁMETRO (AQUÍ CA) EN LA CIRCUNFERENCIA DEL CÍRCULO ES UN ÁNGULO CORRECTO.

SO ANGLE CBA = ANGLE CPQ = 90 °

HENCE PROPORCIONADO

Answer 8

Los dos círculos se cruzan en A y B. CA es un diámetro de un círculo y CA producido se encuentra con el otro círculo en P. CB producido se encuentra con el otro círculo en Q.

Para demostrar que el ángulo CPQ es de 90 grados.

Prueba: CA es un diámetro, el ángulo CBA es un ángulo recto [ángulo en semicírculo].

El suplemento de CBA = ABQ = ángulo recto.

ABQP es un cuadrilátero cíclico, entonces

Ángulo APQ que es lo mismo que

QED

Answer 9

Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios (porque BAP y BQP juntos tienen 360 grados, y dado que están en la circunferencia, su suma es la mitad o 180 grados). El ángulo BAC es suplementario al ángulo PAB, por lo que el ángulo BAC = ángulo PQB. Por lo tanto, los triángulos ABC y CPQ son similares, porque comparten un ángulo común en C y el ángulo BAC = ángulo PQB.

El ángulo CBA es un ángulo recto porque CA es un diámetro. Como los triángulos ABC y CPQ son similares, eso significa que CPQ también es un ángulo recto.

Answer 10

Conecte A y B

Ángulo abc = 90 ° (hecho por la hipotenusa)

=> ángulo cpq = ángulo abc (el ángulo exterior es igual al ángulo opuesto interior de un cuadrilátero cíclico)

Ángulo cpq = 90 °

Por lo tanto demostrado \ U0001f60a \ U0001f60a

Answer 11

Solo para darte una pista:

Une los puntos A y B y los puntos A y Q. Intenta encontrar el ángulo ABQ. Obtendrás la respuesta.