Cómo determinar la posición de un punto que se coloca dentro de la misma distancia de otros cuatro puntos a su alrededor

Answer 1

La forma “más fácil” que sé que hace esto es la siguiente.

Supongamos que [matemática] (x_1, y_1, z_1) [/ matemática], [matemática] (x_2, y_2, z_2) [/ matemática], [matemática] (x_3, y_3, z_3) [/ matemática] y [matemática] ( x_4, y_4, z_4) [/ math] son ​​los cuatro puntos alrededor del que deseas encontrar. La ecuación de la esfera que tiene estos cuatro puntos en su superficie es precisamente

[matemáticas] \ begin {vmatrix} x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 & x & y & z & 1 \\ {x_1} ^ 2 + {y_1} ^ 2 + {z_1} ^ 2 & x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ {x_2} ^ 2 + {y_2} ^ 2 + {z_2} ^ 2 & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ {x_3} ^ 2 + {y_3} ^ 2 + {z_3} ^ 2 & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ {x_4} ^ 2 + {y_4} ^ 2 + {z_4} ^ 2 & x_4 & y_4 & z_4 & 1 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

donde el lado izquierdo es el determinante de una matriz [matemática] 5 \ veces 5 [/ matemática]. Por lo tanto, expanda este determinante. Debes obtener una ecuación de la forma

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + ax + por + cz + d = 0 [/ matemáticas]

para algunos números [matemáticas] a, b, c, d [/ matemáticas]. El punto que desea es el centro de esta esfera, que se encuentra en [matemáticas] (- \ frac {a} {2}, – \ frac {b} {2}, – \ frac {c} {2}) [ /matemáticas].

(En aras de la exhaustividad, el radio de esta esfera es [matemáticas] \ frac {1} {2} \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-4d} [/ matemáticas].)

Answer 2

Si tal punto existe, será el centro de un círculo que contiene los 4 puntos. Como el círculo está determinado por tres puntos, toma tres puntos del 4 original, construye un círculo y, si el cuarto punto está en ese círculo, entonces el centro del círculo es el punto que estás buscando. De lo contrario, tal punto no existe.

Answer 3

Elegiría el centro de la esfera después de mirar las respuestas a ¿Cómo encontrar el centro y el radio de una esfera dados cuatro puntos arbitrarios [matemáticas] (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3 , y_3, z_3), (x_4, y_4, z_4)? [/ math]

Answer 4

Dibuje una línea que conecte dos puntos y otra que conecte otros dos puntos. Las líneas no deben cruzarse. Los busectiros perpendiculares de ambas líneas se cruzan en el punto deseado.