¿Cuál es el proceso paso a paso para resolver esta pregunta de geometría vectorial en la que debes demostrar que el triángulo GHI es 1/7 del área del triángulo ABC?

Answer 1

Ese problema es una demostración de un enfoque agradable basado en la noción de “centro de masa”. Aquí hay una pequeña introducción. Si tiene puntos A y B con masas a y b, entonces su centro de masas se encuentra en el segmento AB en el punto dividido el segmento en la relación a: b. Si tiene varios puntos, puede calcular el centro de masa de esos puntos de la siguiente manera. Toma un par de puntos A y B, encuentra su centro de masa y reemplaza dos puntos A y B por su centro de masa con masa a + b. Eso reducirá el número de puntos en 1. Sigue haciéndolo hasta que quede un solo punto.
Ese punto es el centro de masa de todo el conjunto. Su ubicación no depende de cómo lo calculó.
Ahora, volviendo a nuestro problema. Deje que el área del triángulo ABC sea 1. Los triángulos ACF, AEB y BDC tienen un área de 1/3 cada uno. Por ejemplo, la base de AF del triángulo ACF es 1/3 de la base AB del triángulo ABC, mientras que ambos tienen la misma altura.
Cubren un área fuera del triángulo GHI. Si sumamos sus áreas, obtendremos 1, y esa suma es igual al área fuera del triángulo GHI más la suma de las áreas de los triángulos AGF, DHC e IEB: las contamos dos veces. Eso significa que el área de GHI es la suma de las áreas de esos triángulos.
Ahora calcule la razón en la que el punto H está dividiendo CF en. Ponga la masa 1 en el punto B, la masa 2 en el punto A y la masa 4 en el punto C. Ahora el punto H es el centro de masa de los puntos A, B y C. De hecho, F es la masa central de los puntos A y B y la masa central de tres puntos se encuentran en el segmento CF. Por la misma razón, se encuentra en el segmento BD y la intersección H es el único punto común de BD y CF donde se puede ubicar la masa central. Calculando ese centro de masa tuvimos que colocar la masa 3 en el punto F, eso significa que H está dividiendo CF en una relación 3: 4 (el punto C tiene masa 4), o CH = 3 / 7CF.
El área del triángulo ACF es 1/3. Área del triángulo DHC = 1/3 * 1/3 * 3/7 = 1/21 porque CD = 1 / 3AC. Por la misma razón, los triángulos que tienen AGF e IEB son también 1/21 cada uno.
La suma de sus áreas es 1/7 y es el área del triángulo GHI.