¿Cómo se prueba que hay innumerables círculos con al menos 3 puntos racionales?

Answer 1

El círculo unitario se puede parametrizar racionalmente utilizando triples pitagóricos:

[matemáticas] x = \ dfrac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {2t} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = \ dfrac {1-2t ^ 2 + t ^ 4} {1 + 2t ^ 2 + t ^ 4} + \ dfrac {4t ^ 2} {1 + 2t ^ 2 + t ^ 4} = \ dfrac {1 + 2t ^ 2 + t ^ 4} {1 + 2t ^ 2 + t ^ 4} = 1 [/ matemáticas]

Como cada racional [matemática] t [/ matemática] da un punto racional, el círculo unitario tiene al menos tres puntos racionales. Tiene innumerables infinitos, al menos.

Luego, cada múltiplo entero de la parametrización también da un círculo con al menos tres puntos racionales:

[matemáticas] (rx) ^ 2 + (ry) ^ 2 = r ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) = r ^ 2 [/ matemáticas]

Eso es infinitamente infinito en muchos círculos con tres puntos racionales.

Answer 2

Supongo que está pidiendo una prueba de que SOLO hay muchos círculos de este tipo (debería ser bastante claro que hay infinitos círculos de este tipo, simplemente considerando círculos que circunscriben cuadrados cuyos vértices tienen coordenadas enteras)

Voy a esbozar una prueba, aunque la cantidad de detalles necesarios depende de lo que ya sabe.

Primero: ¿se siente cómodo con la idea de que el conjunto de números racionales es contable?

Siguiente: ¿Te sientes cómodo con la idea de que hay muchos puntos en el plano cartesiano para los cuales ambas coordenadas son racionales? En realidad, esto es muy similar a mostrar que los racionales son contables, cualquier cosa que pueda verse como [un subconjunto infinito de] un producto cartesiano de dos conjuntos contables es contable.

Tercero: ¿Se siente cómodo con la idea de que hay innumerables conjuntos de 3 puntos racionales? (una vez más, esta es más o menos la misma idea: se puede ver como el subconjunto de un producto cartesiano de conjuntos contables) Y si eliminamos cualquier conjunto de 3 puntos que sean colineales, ¿todavía habrá muchos conjuntos de este tipo?

Y finalmente: ¿estás familiarizado con la idea de que tres puntos no colineales en el plano comparten un círculo común? (muchos conjuntos diferentes de tres puntos racionales no colineales pueden producir el mismo círculo, pero eso está bien, el conjunto de todos estos círculos es equinumerable con un subconjunto del conjunto de todos los conjuntos de 3 puntos no colineales racionales)

Answer 3

Tres puntos determinan únicamente el círculo, por lo que hay como máximo tantos círculos como tripletas de puntos. Pero solo hay contablemente muchos puntos trillizos racionales.

Tenga en cuenta que esto no funcionará con pares de puntos racionales. Hay un continuo de círculos con un par dado de puntos (racionales o no).

Answer 4

Suponga que [math] S ^ 1 \ in \ mathbb {R ^ 2} [/ math], donde [math] S ^ 1 [/ math] es un círculo y [math] \ mathbb {R ^ 2} [/ math] Es el plano real. Ahora elija cualquiera de los tres puntos racionales de modo que no exista una línea que conecte los tres. Observe que efectivamente existen tales tres puntos racionales: if [math] (\ frac {x_1} {y_1}, \ frac {p_1} {q_1}), (\ frac {x_2} {y_2}, \ frac {p_2} {q_2}), (\ frac {x_3} {y_3}, \ frac {p_3} {q_3}) [/ math] se encuentran en la misma línea, siempre puedes encontrar un punto racional [math] (\ frac {x ‘ } {y ‘}, \ frac {p’} {q ‘}) [/ math] que no lo hace.

Observe que dos puntos racionales arbitrarios definen el tercer punto racional de una manera “NO”, siempre que un tercer punto racional arbitrario no esté en una línea común con los otros dos puntos, los tres puntos racionales juntos definen un círculo. ¿Qué puede decir acerca de la contabilidad de tres puntos racionales arbitrarios, por ejemplo, [math] \ mathbb {Q ^ 2} [/ math]?

Answer 5

Sugerencia: muestre que un círculo que contiene tres puntos racionales tiene un centro racional.