¿Por qué este problema matemático restringe el gráfico cos al primer y cuarto cuadrantes?

Answer 1

Planteamiento del problema: ¿Por qué theta está restringido al primer y cuarto cuadrante cuando se resuelve para theta en el rango de [0,2 * pi)?

cos (theta) es la intersección x del punto en el círculo unitario al que llegas yendo las unidades theta (en radianes) alrededor del círculo en sentido antihorario a partir de (1,0). Como cos (theta) es positivo en este problema, x es positivo, por lo que x debe estar en el primer o cuarto cuadrante .

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Versión más corta: cos (theta) es un valor de x, por lo que cos () solo es positivo si x es positivo.

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Regla: la función cos es positiva en el primer y cuarto cuadrante. Me enseñaron ASTC (Todos los estudiantes toman cálculo, lo cual es manifiestamente falso, pero es un mnemónico).

Primer cuadrante: todas las funciones trigonométricas son positivas.

Segundo cuadrante: S_in () es positivo. (Como es su inverso multiplicativo, uhh … csc (). Sin embargo, tengo que resolver eso cada vez. Es decir sin (theta) = 1 / csc (theta))

Tercer cuadrante: T_an () es positivo. (inverso, cot () también es positivo)

Cuarto cuadrante C_os () es positivo. (sec () es el inverso multiplicativo aquí).

Imagen útil de Wikipedia:

Esto es básicamente un diagrama que se dibujó en mi primer día de clase trigonométrica. Como conocía el teorema de Pitágoras, el álgebra básica y la ley de triángulos similares, gran parte del resto de la clase era bastante redundante. No sé qué son versin, exsec, versin, crd, excsc y ​​cvs, aunque puedo inferir del diagrama. Entonces, para el ángulo DOA, las coordenadas de D son (1,0) (círculo unitario en el eje x positivo). Las coordenadas de O, el origen, son (0,0). Las coordenadas de A, el punto al que llega yendo una distancia total (no neta) en sentido antihorario desde D alrededor de esta unidad (radio 1) círculo centrado en el origen igual al ángulo theta en radianes, es (cos (theta), sin (theta)). Tenga en cuenta que muchas identidades trigonométricas se vuelven obvias a partir de esto:

• Como el segmento [0, A] es un radio de un círculo unitario, su longitud es una. sen ^ 2 (theta) + cos ^ 2 (theta) = 1 ^ 2 = 1 (Teorema de Pitágoras)
• tan ^ 2 (theta) + 1 = sec ^ 2 (theta) (Teorema de Pitágoras)

Answer 2

El coseno no se limita a los cuadrantes I y IV, pero los valores positivos para el coseno son. Este es el por qué:

Proviene del círculo unitario. El círculo unitario es un círculo centrado en el origen, con un radio de uno. Todos los puntos en ese círculo son las soluciones para las funciones seno y coseno.

Podemos ver aquí que sin (theta) = x / 1 en el círculo unitario. En los cuadrantes I y IV, x es positivo y también lo es el coseno. En los cuadrantes I y II, y es positivo, también lo es el seno. Mira esta otra imagen del círculo de la unidad.

Definitivamente podemos ver que si conocemos el signo de la solución a una función trigonométrica, sabemos dónde se encuentra el ángulo o triángulo en este caso. En este caso tenías cos (x) = +1/2. Podemos ver que en los cuadrantes I y IV, el coseno es positivo, por lo que nuestro ángulo o triángulo debe estar en cualquiera de esos cuadrantes.

Ahora … aquí hay algo genial, ya que el círculo unitario está formado por puntos que tienen las soluciones de coseno y seno como sus valores x e y respectivamente … ¿cuál es el número más grande que podemos tener en ese conjunto? Recuerde cuál es el radio del círculo unitario y cuál es la definición de un círculo. Es por eso que se dice que el coseno y el seno están “limitados” … y si alguna vez ve cos (x) = 25, debe sospechar de inmediato.

Answer 3

Porque los cuadrantes primero y cuarto son los únicos cuadrantes donde el valor del coseno o la coordenada x es positivo. En el segundo y tercer cuadrantes, el valor del coseno es negativo.

Answer 4

A2A: Todavía no veo un problema. Tu imagen se parece más a una respuesta. Debo adivinar que la pregunta es: “Si [math] \ cos \ theta = 1 / \ sqrt {2} [/ math], ¿cuál es [math] \ theta [/ math]?” Valores de [math] \ theta [/ math] en los otros cuadrantes no son relevantes porque [math] \ cos \ theta [/ math] no es positivo allí.

Answer 5

El coseno es el valor x dividido por la hipotenusa.

Como el número que se muestra es positivo, el valor de x debe ser positivo, lo que excluye los cuadrantes segundo y tercero.