¿Cuáles son algunos ejemplos de proyectos de investigación en matemáticas?

Answer 1

Lógica universal: el estudio de las estructuras de los sistemas lógicos, incluido lo que tienen en común, lo que se puede suponer de ellos, etc. Parece que esto se habría hecho hace siglos, pero afortunadamente estamos empezando a cuestionar TODOS nuestros supuestos. . La lógica universal podría reescribir los fundamentos de las matemáticas. Sin embargo, tenga la seguridad de que muchas de las cosas de nivel superior permanecerían, solo en pilares más fuertes.

Nuevos fundamentos – Teoría de tipos sobre teoría de conjuntos. Nuevamente, este es un intento de reescribir las matemáticas desde los cimientos. Todavía hay más por hacer, pero también se establece en la parte superior de la lógica, lo que significa que también podría ser reescrito por Universal Logic.

Teoremas como programas y el cálculo de construcciones: uso de computadoras para codificar todas las teorías que tenemos. Esto nos permite usar computadoras para ayudarnos a probar teorías, y usar teorías para ayudarnos a reescribir código, para probar nuevas teorías, hasta el infinito. Básicamente es una nueva base de datos de teoría matemática. Puedes ver esto en los resultados de Agda, Coq, Idris, etc.

En el otro extremo (ramificándose hacia las hojas, en lugar de las raíces), siga a Terrance Tao para obtener cosas nuevas.

Además, tenemos cosas que siempre están creciendo: cálculo fraccional, matemática cuántica, etc.

Answer 2

Se realiza la clasificación completa de grupos simples finitos. Pero aún queda trabajo por condensar, reunir métodos de prueba dispares y crear un marco más holístico. La prueba “simplificada” estimada debe ejecutar unas 5000 páginas.

¿P = NP es el famoso problema de clase de complejidad mot. Pero hay un zoológico gigantesco de diferentes clases (Tiempo polinómico cuántico, Tiempo exponencial, Espacio polinómico, Algoritmos aleatorios, Polinomios de tiempo de logaritmos en procesadores paralelos, …). Cómo se relacionan entre sí (algunos son conocidos, otros no), qué implicaciones ocurrirían para otras clases si supiéramos que dos clases son iguales, un subconjunto de la otra, o incluso si no pueden expresarse como un subconjunto fuera del otro, etc.

La teoría de los tipos de homotopía como construcción básica de las matemáticas también se ha mencionado en otras partes de este tema.

La hipótesis de Riemann todavía está abierta, pero una vía de enfoque ha estado estudiando versiones generalizadas llamadas funciones L, de las cuales la función Riemann-Zeta es un ejemplo. Luego hay un “plan de ataque” completo llamado programa de Langland del cual las funciones L son solo un aspecto del estudio.

La mierda sigue sucediendo.

Nota: solo tengo varios conocimientos en estos campos. Si he caracterizado algo incorrectamente, corrígeme.