Para responder a esta pregunta, debemos analizar por qué los dos ángulos tienen los rangos que tienen en 2 o 3 dimensiones. En 2D o 3D tenemos la opción de mirarlo visualmente / intuitivamente, pero si profundizamos un poco más, podemos encontrar un resultado que puede generalizarse a dimensiones más altas.
El sistema de coordenadas más directo para extender es el cartesiano: sin importar cuántas coordenadas desee, a lo largo de bonitos ejes ortogonales.
En 2D, si queremos usar coordenadas polares, escribimos
[matemáticas] x = r \ cos \ theta, \ quad y = r \ sin \ theta [/ matemáticas].
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Podemos verificar fácilmente que la identidad pitagórica se mantiene, ya que [math] \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1 [/ math], y así todo está bien. Para que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] puedan tomar valores positivos y negativos, se debe permitir que [math] \ theta [/ math] oscile entre 0 y [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas].
En 3D, ahora tenemos dos ángulos. Podemos escribir
[matemáticas] z = r \ cos \ phi, \ quad x = r \ sin \ phi \ cos \ theta, \ quad y = r \ sin \ phi \ sin \ theta [/ math].
Si permitimos que [math] \ theta [/ math] cubra todo [math] 2 \ pi [/ math] como antes, el signo de [math] \ sin \ phi [/ math] ya no es relevante; entonces, solo necesitamos [math] \ cos \ phi [/ math] para cubrir su rango completo de valores, lo que solo requiere un rango de [math] 0 \ leq \ phi \ leq \ pi [/ math].
Tenga en cuenta lo que hemos hecho aquí:
- Comenzamos con un completo sistema de coordenadas 2D.
- Para extender a 3D, colocamos un eje adicional, perpendicular a los dos primeros, y definimos un nuevo ángulo [matemático] \ phi [/ matemático] que mide el ángulo de declinación desde este nuevo eje.
- Podemos escribir cualquier vector en el nuevo espacio como una suma de dos componentes: uno paralelo al nuevo eje y otro perpendicular a él.
- El componente paralelo al nuevo eje es solo una coordenada: [matemática] z [/ matemática]. De nuestra definición de [math] \ phi [/ math], inmediatamente tenemos [math] z = r \ cos \ phi [/ math]. Esto significa que la magnitud “restante” que queda para el componente perpendicular es [math] r \ sin \ phi [/ math].
- Pero ya sabemos cómo escribir el componente perpendicular, porque es solo un vector en nuestro espacio vectorial de dimensión inferior. El único cambio es que, en lugar de que este componente tenga una magnitud [matemática] r [/ matemática], tiene una magnitud [matemática] r \ sin \ phi [/ matemática], como se explicó anteriormente. Haga esa sustitución y tendrá su nuevo sistema de coordenadas.
Este proceso puede repetirse infinitamente. Cada vez que desee agregar otra dimensión, simplemente multiplique todas sus coordenadas antiguas por [math] \ sin [/ math] (nuevo ángulo) y agregue una nueva coordenada, [math] r \ cos [/ math] (nuevo ángulo )
Según la lógica anterior, todos los ángulos anteriores mantienen sus rangos existentes, con el ángulo “nuevo” que tiene un rango de 0 a [matemática] \ pi [/ matemática].
Entonces, en 4D, podríamos escribir
[matemáticas] \ begin {align *}
w = r \ cos \ psi, \ quad & z = r \ sin \ psi \ cos \ phi, \ quad \\
x = r \ sin \ psi \ sin \ phi \ cos \ theta, \ quad & y = r \ sin \ psi \ sin \ phi \ sin \ theta
\ end {align *} [/ math]
con [matemática] \ theta [/ matemática] que va de 0 a [matemática] 2 \ pi [/ matemática] y los otros dos ángulos que varían de 0 a [matemática] \ pi [/ matemática].