Llamemos al ángulo de “retroceso” [matemática] \ theta_1 [/ matemática] y al ángulo de “liberación” [matemática] \ theta_2 [/ matemática]. Digamos también que el péndulo tiene una longitud [matemática] L [/ matemática] y que el bob tiene masa [matemática] m [/ matemática] (aunque eso no debería terminar siendo importante).
Geométricamente, el bob comienza a oscilar a una altura de [math] h_1 = (1- \ cos \ theta_1) L [/ math] sobre el suelo. Suponiendo que el swing comienza en reposo, esto significa que tiene energía mecánica total [matemática] E = mgh_1 = mgL (1- \ cos \ theta_1) [/ math], que se conservará durante todo el swing.
En el punto de liberación, la conservación de la energía da
[matemáticas] \ begin {align *} \ frac {1} {2} mv_0 ^ 2 + mgL (1- \ cos \ theta_2) & = mgL (1- \ cos \ theta_1) \\ \ frac {1} {2 } mv_0 ^ 2 & = mgL (\ cos \ theta_2 – \ cos \ theta_1) \\ v_0 ^ 2 & = 2gL (\ cos \ theta_2 – \ cos \ theta_1) \ end {align *} [/ math]
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donde [math] v_0 [/ math] es la velocidad de la masa en la liberación. Luego necesitamos el tiempo [matemática] t [/ matemática] en que la masa está en el aire. Para cinemática en dirección vertical, tenemos
[matemáticas] – \ frac {1} {2} gt ^ 2 + v_0 \ sin \ theta_2 t + h_2 = 0 [/ matemáticas]
que se puede resolver y simplificar para obtener (que requiere [math] t> 0 [/ math])
[matemáticas] t = \ frac {v_0 \ sin \ theta_2} {g} \ left [1 + \ sqrt {1 + \ frac {2gh_2} {v_0 ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta_2}} \ right]. [/ matemáticas]
La distancia horizontal recorrida en este tiempo es [matemática] x = v_0 \ cos \ theta_2 t [/ matemática]. Conectando nuestra ecuación para [math] t [/ math] en eso, y sustituyendo en nuestra ecuación por [math] v_0 ^ 2 [/ math] arriba, terminamos con
[matemáticas] x = L \ sin (2 \ theta_2) (\ cos \ theta_2 – \ cos \ theta_1) \ left [1 + \ sqrt {1 + \ frac {1 – \ cos \ theta_2} {\ sin ^ 2 \ theta_2 (\ cos \ theta_2 – \ cos \ theta_1)}} \ right]. [/ math]
Ew.
Además, tenga en cuenta que esta es la distancia desde el punto de lanzamiento . Si, en cambio, desea la distancia desde el pivote del péndulo, tenemos que agregar una [matemática] L \ sin \ theta_2 [/ matemática] adicional, y si desea la distancia desde el punto de “retroceso”, debe agregue [math] L \ sin \ theta_1 [/ math] encima de eso (aunque este último no afecta qué valor de [math] \ theta_2 [/ math] es óptimo).
Ahora tenemos una función, [math] x (\ theta_1, \ theta_2) [/ math], que podemos diferenciar con respecto a [math] \ theta_2 [/ math] y establecer el resultado en cero para encontrar el ángulo de liberación que Da la distancia de lanzamiento más larga.
Primero, sin embargo, para tener una idea visual, así es como se ve la distancia de lanzamiento desde el punto de liberación para un ángulo de retroceso de 70 grados, en unidades de la longitud del péndulo:
Y aquí está desde el punto de pivote :
El ángulo de liberación óptimo si mide la distancia desde el punto de liberación es de aproximadamente 33.1 grados (dando una distancia de aproximadamente [matemáticas] 1.1 L [/ matemáticas]).
El ángulo de liberación óptimo si mide la distancia desde el punto de pivote es de aproximadamente 39.1 grados (dando una distancia de aproximadamente [matemáticas] 1.7 L [/ matemáticas]).
No conozco ninguna forma de obtener el resultado en forma de una ecuación agradable en la que pueda enchufar su ángulo de retroceso y obtener el (los) ángulo (s) óptimo (s) de liberación … Creo que es posible que necesite usar algún tipo de Optimización computarizada para cada caso. Esto es lo que obtengo cuando lo hago:
¡Feliz lanzamiento!