¿Cuál es la medida del ángulo más pequeño (en grados) entre las diagonales AC y BD?

Answer 1

Primera observación ABC es un paralelogramo. Déjame ser el centro. Podemos cambiar a la consideración del triángulo ABD y la mediana AM.

Intentemos construir ese triángulo (s). Aquí hay una foto.

Deje que OMD sea un triángulo equilátero. Luego, el punto A se ubica en un círculo con el centro Of y el radio OD ya que el ángulo MAD es 30 °.

La línea BA corre a través de ese círculo ya que el ángulo DBA es de 30 °. Eso hace las cosas simples. De hecho, podemos ver que hay dos ubicaciones posibles para el punto A: A1 y A2. Y podemos tener dos respuestas.

El resto es simple si observa que BM = MD = OMD. El ángulo BOM es 30 °, el ángulo BA1M es 15 ° como la mitad, el ángulo DOA1 es 90 °, ODA1 es 45 °, MDA1 es 60 + 45 = 105 °

Finalmente el ángulo A1MD es de 45 °

Como el ángulo A1MA2 es 90 °, el ángulo A2MB también es 45 °.

Respuesta: 45 °

Answer 2

Deje [math] E [/ math] ser el pie de la perpendicular de [math] B [/ math] a [math] CD [/ math]. Observa eso

[matemática] \ angle BDC = \ angle DBA \ Rightarrow AB \ parallel DC; \ angle DAC = \ angle ACB \ Rightarrow AD \ parallel BC \ Rightarrow ABCD [/ math] es un paralelogramo.

Sea [math] M [/ math] la intersección de [math] AC [/ math] y [math] BD [/ math]; También es el punto medio de [matemáticas] BD [/ matemáticas]. Dado que el triángulo [matemático] BDE [/ matemático] es un [matemático] 30 ^ {\ circ} -60 ^ {\ circ} -90 ^ {\ circ} [/ matemático] triángulo, [matemático] BM = DM = BE [ /matemáticas]. Pero por el teorema del segmento alternativo,

[matemáticas] BM \ cdot BD = BC ^ {2} \ Rightarrow BC = \ sqrt {2} BE \ Rightarrow \ angle BCE = 45 ^ {\ circ} [/ math]. La búsqueda fácil de ángulos ahora nos lleva a deducir que [matemáticas] \ angle DMC = 45 ^ {\ circ} [/ math].

Answer 3

Ángulo DAC = Ángulo BCA. Por lo tanto, AD es paralelo a BC.

Del mismo modo, CD es paralelo a AB.

Por lo tanto, la figura ABCD es un cuadrado. Las diagonales se cruzan en ángulo recto.

Por lo tanto, el ángulo entre las diagonales AC y BD es de 90 grados.

Answer 4

Ya que

[matemática] \ measuredangle {ACB} = \ measuredangle {CAD} \ implica {AD \ parallel {BC}} [/ math]

y

[matemática] \ measuredangle {BDC} = \ measuredangle {ABD} \ implica {AB \ parallel {CD}} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] el cuadrilátero es un cuadrado

Los 4 ángulos en la intersección de AC y BD son iguales a 90 °