¿Qué es la elipse generalizada?

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Decidí investigar un poco por mi cuenta y encontré las siguientes cosas.

Primero comencé con mi pregunta original: puntos n en un espacio n-dimensional. Quería simplificar las cosas, así que comencé simplemente comprobando el ejemplo 2-D. La siguiente ecuación describe la restricción de longitud:

[matemáticas] \ sqrt {(x_1-x) ^ 2 + (y_1-y) ^ 2} + \ sqrt {(x_2-x) ^ 2 + (y_2-y) ^ 2} = constante [/ matemáticas]

Hice un diagrama en Mathematica con algunos valores arbitrarios, y efectivamente surgió la elipse:

Ahora quería usar tres puntos en 3-D. La siguiente ecuación describe la superficie que quiero examinar:

[matemáticas] \ sqrt {(x_1-x) ^ 2 + (y_1-y) ^ 2 + (z_1-z) ^ 2} + \ sqrt {(x_2-x) ^ 2 + (y_2-y) ^ 2 + (z_2-z) ^ 2} + \ sqrt {(x_3-x) ^ 2 + (y_3-y) ^ 2 + (z_3-z) ^ 2} = constante [/ matemática]

Seguí adelante y comencé a trazar en Mathematica con algunos valores arbitrarios, y las cosas se pusieron extrañas . Parece que no me topé con un elipsoide, sino con una ecuación que genera papas:

Parece que mi excursión a las papas de dimensiones superiores no iba a ser particularmente fructífera. También quería saber cómo se veía la variedad en otras métricas. Probé el espacio [matemática] L ^ 4 [/ matemática], y surgió una patata aún más horrible:

Después de esto, comencé a preguntarme acerca de n puntos en un espacio tridimensional. Primero probé 2-D con tres puntos:

Después de leer un poco, descubrí que se denominan n-elipses. No pude encontrar mucha información sobre n-elipses de dimensiones superiores, por lo que generé uno yo mismo usando 4 puntos en el espacio 3D.

Esto fue todo lo que pude encontrar con un poco de investigación básica. No pude encontrar si se sabe mucho sobre las propiedades de estos múltiples, y si se han investigado en el pasado. Si alguien lo hace, hágamelo saber.