Podemos encontrar la distancia más corta entre [matemáticas] x-2y + 10 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y ^ 2-4x = 0 [/ matemáticas] usando el concepto del vector gradiente.
El gradiente se define como tal: [matemática] \ nabla f (x, y) = \ big \ langle \ frac {\ partial f} {\ partial x}, \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ big \ rangle [/ math]. Es un vector que apunta perpendicularmente a la línea tangente, es decir, es normal a la función en el punto dado.
Un poco de visualización revelará que dos funciones están más cercanas entre sí cuando sus vectores de gradiente son paralelos entre sí. Esto significa que podemos establecer los componentes del gradiente iguales entre sí, que solo difieren en magnitud por una constante, [math] \ lambda [/ math]. Si hacemos eso en nuestro caso, obtenemos:
[matemáticas] \ big \ langle 1, -2 \ big \ rangle = \ lambda \ big \ langle -4,2y \ big \ rangle [/ math]
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[matemáticas] \ rightarrow \ quad 1 = -4 \ lambda, \, -2 = 2y \ lambda [/ math]
La primera ecuación muestra que [math] \ lambda = \ frac {-1} {4} [/ math], que a su vez nos dice en la segunda ecuación que [math] y = 4 [/ math]. Por lo tanto, el punto en la función [matemática] y ^ 2-4x = 0 [/ matemática] que está más cerca de la línea [matemática] x-2y + 10 = 0 [/ matemática] tiene una coordenada y de [matemática] 4 [/ matemáticas]. Al conectar esto a [matemática] y ^ 2-4x = 0 [/ matemática] también se obtiene una coordenada x de [matemática] 4 [/ matemática].
Ahora necesitamos encontrar la distancia al punto correspondiente en [matemáticas] x-2y + 10 = 0 [/ matemáticas]. Podemos hacer esto al encontrar una ecuación para la línea a lo largo de la cual apunta el vector de gradiente, y luego encontrar dónde se cruzan esa línea y [matemáticas] x-2y + 10 = 0 [/ matemáticas].
Podemos escribir la ecuación para la línea a lo largo de la cual el vector de gradiente apunta en la forma [matemáticas] y = mx + b [/ matemáticas]. El gradiente es [math] \ big \ langle 1, -2 \ big \ rangle [/ math], por lo que esto significa que [math] m = \ frac {-2} {1} = – 2 [/ math]. También sabemos que la línea pasa por el punto [matemática] (4,4) [/ matemática] en [matemática] y ^ 2 = 4x [/ matemática], por lo que al conectar este punto a la ecuación se obtiene [matemática] b = 12 [/matemáticas].
Ahora encontramos dónde [matemática] x-2y + 10 = 0 [/ matemática] y [matemática] y = -2x + 12 [/ matemática] se cruzan. Espero que puedas hacer esto por tu cuenta. Obtenemos [math] x = \ frac {14} {5} [/ math], y luego [math] y = \ frac {32} {5} [/ math].
Finalmente, encontramos la distancia entre los puntos [matemática] (\ frac {14} {5}, \ frac {32} {5}) [/ matemática] y [matemática] (4,4) [/ matemática] usando el fórmula de distancia. Obtenemos [math] \ boxed {\ frac {6} {\ sqrt {5}}} [/ math].