Cómo encontrar las dimensiones de un cilindro circular derecho de mayor volumen que puede inscribirse en un cono circular derecho dado

Aquí dado, un cono que tiene altura h y ángulo semi vertical α

Deje, el radio del cilindro es x , la altura del cilindro es k y el radio del cono es r

Ahora,

Entonces, el volumen del cilindro,

Ahora,

Para el volumen máximo de cilindro,

Entonces, volumen máximo,

[matemáticas] \ frac {1} {3} \ pi r ^ 2h [/ matemáticas] es el volumen de todo el cono. Un cilindro dentro del cono tendrá un radio menor x, y la altura máxima posible del cilindro será una función de x: en x = r, la altura solo puede ser 0, un disco plano de volumen cero; en x = 0 la altura puede ser la h completa, pero tenemos una línea sin grosor con volumen cero; en el medio parece que [math] (1- \ frac {x} {r}) h [/ math] es la altura máxima. Encuentre el volumen del cilindro en función de x y diferencie.

Configura la restricción.

Sea H la altura del cono, y R el radio del cono.

Sea h la altura del cilindro yr sea el radio del cilindro.

Objetivo:

Maximizar [matemáticas] V = \ pi r ^ 2 h [/ matemáticas]

Restricción:

[matemáticas] \ frac {h} {H} + \ frac {r} {R} = 1 [/ matemáticas]

Ahora resuelva el aislamiento h (or r) en la restricción y sustitúyalo en su función objetivo.

[matemáticas] h = H (1- \ frac rR) \\ V = \ pi (H r ^ 2 – \ frac HR r ^ 3) [/ matemáticas]

Ahora puede diferenciar y establecer la derivada igual a 0.

[matemáticas] V ‘= \ pi H (2r – \ frac 1R 3r ^ 2) = 0 \\ r = \ frac 23 R, h = \ frac 13 H \\ V = \ frac 29 \ pi R ^ 2 H [ /matemáticas]

Tenga en cuenta que rechacé la respuesta r = 0 ya que eso minimizaría el volumen.

Suponga que se nos da un cono circular derecho con altura [matemática] H [/ matemática] y radio base [matemática] R [/ matemática]. Por referencia a cualquier plano que contenga la línea central del cono, podemos concluir por triángulos similares que el volumen de un cilindro circular derecho inscrito con radio [math] r [/ math] es:

[matemática] \ grande V = \ frac {H} {R} \ pi r ^ 2 (Rr) [/ matemática].

Diferenciando con respecto a [matemáticas] r [/ matemáticas], tenemos:

[matemática] \ grande \ frac {dV} {dr} = \ frac {H} {R} \ pi r (2R-3r) [/ matemática].

Al establecer la derivada igual a [matemática] 0 [/ matemática] y resolver para [matemática] r [/ matemática], vemos que el volumen máximo del cilindro ocurre cuando:

[matemáticas] r = \ frac {2} {3} R [/ matemáticas].