¿Por qué es útil una serie geométrica? ¿Cuáles son sus aplicaciones?

Las secuencias y series son útiles de la misma manera que la geometría es útil.

Hay cosas en el mundo que pueden ser representadas por círculos y

cuadrados y cosas que se pueden representar como secuencias y series.

Para la variedad de cosas que las secuencias pueden representar, tome un

mira la Enciclopedia en línea de secuencias enteras de Sloane:

http://www.research.att.com/~nja…

Esta es una colección gigantesca de secuencias que provienen de todo tipo de

aplicaciones. Echa un vistazo a la secuencia de Fibonacci (un clásico) en Ron

Sitio de Knott:

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Pers…

Las series involucran una de las ideas más poderosas en matemáticas. En

en particular, las series de potencia son increíblemente útiles para hacer todo tipo de

cosas. Una cosa para la que son muy útiles es la aproximación de

funciones, lo cual es necesario en prácticamente todas las aplicaciones informáticas

implicando evaluaciones de funciones, una computadora interesante

solicitud. Si no está muy familiarizado con las series de potencia, sugiero

leyendo sobre ellos.

Otro tipo de serie que es increíblemente útil es la serie de Fourier.

Este es un tema algo avanzado, pero ciertamente podría ser presentado a

estudiantes de secundaria dispuestos, al menos como un ejemplo de las cosas geniales

que puedes hacer con series. Series de Fourier e ideas relacionadas con

ellos, se utilizan en muchas aplicaciones de procesamiento de señales (sonido,

video, etc.). Pídales a sus alumnos que expliquen cómo los graves y los agudos

las perillas de sus equipos de música funcionan. Los que hacen un buen trabajo respondiendo

la pregunta se encontrará con la serie de Fourier.

Otra cosa a considerar es la síntesis musical: ¿cómo funciona un sintetizador?

¿trabajo? La respuesta involucra series de Fourier (junto con otras interesantes

materiales, por supuesto). Para algunas cosas interesantes relacionadas con la serie Fourier

(Transformadas de Fourier, guitarras y batería), echa un vistazo a Dan

La página de Russell sobre vibraciones y animaciones de ondas:

http://www.gmi.edu/~drussell/Dem…

Las series son útiles como una forma de crear funciones. Una vez que pasas

funciones racionales, exponenciales y trigonométricas, ¿qué sigue?

Funciones creadas a partir de series, con series de potencia y series de Fourier

siendo dos de los tipos más populares. Un lugar donde surgen tales funciones es

como las soluciones a ecuaciones diferenciales.

Probablemente, uno se encuentra con series bastante. Considera el

siguiente problema Lanzas un dado de 6 lados hasta que llegue un seis

arriba, y ganas, o aparece uno y pierdes. Por simetría, es

claro que tienes un 50% de posibilidades de ganar. Otra forma de mirar

en esto es lo siguiente. La probabilidad de que ganes exactamente

n tiros del dado es

((4/6) ^ (n-1)) * (1/6)

Entonces, la probabilidad de que ganes es la serie infinita, donde

suma la expresión anterior como n corre de 1 a infinito. Este es un lindo

serie geométrica, y su suma es (como tiene que ser) 1/2.

Ahora, en un problema de probabilidad, donde no tenemos este buen tipo de

simetría, la serie puede ser el único camino a seguir. (Incluso en estos más simples

casos, siempre es bueno tener más de una forma de resolver un problema).

Podría seguir y seguir. Las series se utilizan en muchas, muchas aplicaciones.

Que te diviertas,

La serie geométrica es útil porque puede usarse como modelo de situaciones de la vida real que pueden encontrar su aplicación en la física, por ejemplo.

Considera lo siguiente

Problema

Desde una altura dada [matemática] h_0 [/ matemática], estrictamente horizontalmente, lanzamos con una velocidad inicial dada [matemática] v_0 [/ matemática] un punto material (supongamos un pequeño pollo esférico de densidad uniforme).

Se sabe que el punto rebota en una superficie dura perfectamente horizontal de tal manera que después de cada rebote su velocidad vertical disminuye a una velocidad constante [matemática] r [/ matemática], es decir, la relación de la velocidad vertical del punto después de cada rebote a su velocidad vertical antes de que ese rebote sea exactamente [matemático] 0

Pregunta:

suponiendo la ausencia de fricción superficial, resistencia al aire y resistencia y viento, bajo gravedad uniforme, [matemática] v_0 << c [/ matemática] y así sucesivamente (en condiciones ideales, en la escuela secundaria), ¿cuál será el desplazamiento horizontal del punto? después de que deja de rebotar?

Solución

Bajo las condiciones ideales mencionadas, la velocidad horizontal del punto siempre permanecerá constante, e igual a [math] v_0 [/ math].

En el primer touchdown, que, hablando en términos generales, representa la mitad de un rebote o la mitad de una parábola , nuestro punto será [math] x_0 [/ math] unidades lejos del origen y luego hará rebotes completos o rastreará parábolas completas y así cubrirá [math] x_k [/ math] unidades de distancia entre rebotes consecutivos que comienzan con [math] k = 1 [/ math] como se muestra a continuación *:

Por lo tanto, si designamos el desplazamiento horizontal del punto como [math] \ mathbb {X} [/ math], tendremos:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathbb {X} = x_0 + \ sum_ {k = 1} ^ nx_k \ tag {1} [/ matemáticas]

para algunos, no especificado por ahora, número de rebotes [math] n [/ math]. Podemos pensar en ( 1 ) como una fórmula que captura un cierto estado estable y dinámico .

Antes del primer touchdown, nuestro punto es caída libre desde la altura inicial [math] h_0 [/ math]. Por lo tanto, para el tiempo de vuelo inicial [math] t_0 [/ math] tenemos:

[matemáticas] h_0 = \ dfrac {gt_0 ^ 2} {2} \ tag {2} [/ matemáticas]

de donde:

[matemáticas] t_0 = \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ tag {3} [/ matemáticas]

Por lo tanto, para [math] x_0 [/ math] tenemos:

[matemáticas] x_0 = v_0t_0 = v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ tag {4} [/ matemáticas]

Ahora trabajaremos con el componente vertical de la velocidad del punto, así que designemos como [math] v_y [/ math].

De la ley de conservación de la energía se deduce que el punto tocará el suelo inicialmente con [math] v_ {y0} [/ math] tal que:

[matemáticas] v_ {y0} = \ sqrt {2gh_0} \ tag {5} [/ matemáticas]

En consecuencia, después de ese rebote se elevará en el aire con la velocidad vertical (inicial) [matemática] v_ {y1} [/ matemática] que se conoce (según la declaración del problema):

[matemáticas] v_ {y1} = v_ {y0} \ cdot r = r \ sqrt {2gh_0} \ tag {6} [/ matemáticas]

Después del segundo rebote, el punto saldrá al aire con la velocidad vertical (inicial) [matemática] v_ {y2} [/ matemática] tal que (utilizando [matemática] v_ {y1} [/ matemática] de ( 6 )):

[matemáticas] v_ {y2} = v_ {y1} \ cdot r = v_ {y0} \ cdot r \ cdot r = r ^ 2 \ sqrt {2gh_0} \ tag {7} [/ math]

Después del tercer rebote, el punto saldrá al aire con la velocidad vertical (inicial) [matemática] v_ {y3} [/ matemática] tal que (utilizando [matemática] v_ {y2} [/ matemática] de ( 7 )):

[matemáticas] v_ {y3} = v_ {y2} \ cdot r = v_ {y1} \ cdot r \ cdot r = v_ {y0} \ cdot r \ cdot r \ cdot r = r ^ 3 \ sqrt {2gh_0} \ etiqueta {8} [/ math]

y así.

Por lo tanto, argumentamos que después del rebote [math] k [/ math] -th la velocidad vertical inicial del punto [math] v_ {yk} [/ math] será:

[matemáticas] v_ {yk} = r ^ k \ sqrt {2gh_0}, \; k \ in \ mathbb {N} \ tag {9} [/ math]

Por brevedad, omitimos la deducción de la magnitud de la altura máxima [math] h_k [/ math] hasta la cual el punto sube en las condiciones dadas y lo tomamos como ya conocido:

[matemáticas] h_k = \ dfrac {v_ {yk} ^ 2} {2g} \ tag {10} [/ matemáticas]

Ponga [math] v_ {yk} [/ math] de ( 9 ) en ( 10 ):

[matemáticas] h_k = \ dfrac {r ^ {2k} 2gh_0} {2g} = h_0r ^ {2k} \ tag {11} [/ matemáticas]

(Observe que los picos de la parábola disminuyen más rápido que las velocidades verticales)

En consecuencia, el tiempo [matemáticas] t_k [/ matemáticas] para subir a la altura máxima [matemáticas] h_k [/ matemáticas] es:

[matemáticas] t_k = \ sqrt {\ dfrac {2h_k} {g}} \ tag {12} [/ matemáticas]

Ponga [math] h_k [/ math] de ( 11 ) en ( 12 ):

[matemáticas] t_k = \ sqrt {\ dfrac {2h_0r ^ {2k}} {g}} = r ^ k \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ tag {13} [/ matemáticas]

Pero consideramos que el tiempo que se tarda en subir a [matemáticas] h_k [/ matemáticas] es igual al tiempo que se tarda en descender de [matemáticas] h_k [/ matemáticas]. Por lo tanto, el tiempo total [matemático] T_k [/ matemático] que el punto permanece en el aire entre dos rebotes completos consecutivos es simplemente el doble que el de [matemático] t_k [/ matemático]:

[matemáticas] T_k = 2t_k = 2r ^ k \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ tag {14} [/ matemáticas]

Y dado que la componente horizontal de la velocidad del punto, [math] v_0 [/ math], siempre permanece igual, se deduce que para [math] x_k [/ math] tenemos:

[matemáticas] x_k = v_0 \ cdot T_k = 2v_0r ^ k \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ tag {15} [/ matemáticas]

Al volver a colocar ( 4 ) y ( 15 ) en ( 1 ), obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathbb {X} = v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} + 2v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ sum_ {k = 1} ^ nr ^ k \ etiqueta {16} [/ matemáticas]

o:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathbb {X} = v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ left (1 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ nr ^ k \ right) \ tag {17} [ /matemáticas]

Ahora, ¿cómo traducimos las paradas suaves que rebotan en matemáticas difíciles?

Una forma: nuestro punto deja de rebotar si después del touchdown [matemático] n [/ matemático] no logra volar.

Eso, a su vez, significa que:

[matemáticas] h_n = h_0r ^ {2n} = 0 \ tag {18} [/ matemáticas]

Pero eso es herejía matemática porque [math] h_0 [/ math] es un número real distinto de cero, por lo que [math] r [/ math] y [math] n [/ math] es un número natural distinto de cero.

¿Cuándo ( 18 ) se convertirá en un buen ciudadano matemático?

Cuando recordamos el concepto de límite:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} h_0r ^ {2n} = 0 \ tag {19} [/ matemáticas]

porque, no lo olvides, [matemáticas] r <1 [/ matemáticas]. En otras palabras, tendemos [matemática] n [/ matemática] a infinito (positivo).

Así, una serie geométrica, con una ración común [matemáticas] r [/ matemáticas], cobra vida:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathbb {X} = v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ left (1 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} r ^ k \ right) \ etiqueta {20} [/ math]

Pero ya sabemos eso:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} r ^ k = \ dfrac {r} {1-r} \ tag {21} [/ matemáticas]

Por lo tanto, poniendo ( 21 ) en ( 20 ) llegamos a la respuesta:

[matemática] \ mathbb {X} = v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ left (1+ \ dfrac {2r} {1-r} \ right) = \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ cdot \ dfrac {1-r + 2r} {1-r} \ tag * {} [/ matemáticas]

o:

[math] \ mathbb {X} = v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ cdot \ dfrac {1 + r} {1-r} \ tag {22} [/ math]

¿Es asi?

¿No por qué no? Porque nuestro pollo esférico de densidad uniforme participa en un programa de millas de viajero frecuente (¿quién dijo que las gallinas no pueden volar?)

Como no tenemos una sino dos series geométricas aquí, también podríamos preguntar: ¿cuánta distancia vertical cubrió nuestro pollo antes de que se pusiera a tierra?

Bueno, ese es fácil:

[math] \ displaystyle \ mathbb {H} = h_0 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} h_k = \ tag * {} [/ math]

(según ( 11 ))

[matemáticas] \ displaystyle h_0 + 2h_0 \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} r ^ {2k} = \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle h_0 \ left (1 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} r ^ {2k} \ right) = \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] h_0 \ left (1+ \ dfrac {2r ^ 2} {1-r ^ 2} \ right) = h_0 \ cdot \ dfrac {1-r ^ 2 + 2r ^ 2} {1-r ^ 2} \ tag * {} [/ math]

o:

[math] \ mathbb {H} = h_0 \ cdot \ dfrac {1 + r ^ 2} {1-r ^ 2} \ tag {23} [/ math]

Es eso ?

Tenemos otra serie geométrica aquí que se escondía a la vista del avión todo el tiempo: el tiempo total [math] \ mathbb {T} [/ math] que el pollo pasó en el aire:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathbb {T} = t_0 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} t_k = \ tag * {} [/ matemáticas]

(según ( 3 ) y ( 13 ))

[matemáticas] \ displaystyle t_0 + 2 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} r ^ k = \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ left (1 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} r ^ k \ right) = \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ left (1+ \ dfrac {2r} {1-r} \ right) = \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ cdot \ dfrac {1-r + 2r} {1-r} \ tag * {} [/ math]

o:

[math] \ mathbb {T} = \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ cdot \ dfrac {1 + r} {1-r} \ tag {24} [/ math]


Extra para expertos: ahora puede embellecer el problema con variaciones adicionales: deje que [math] v_0 [/ math] apunte hacia arriba (o hacia abajo) con respecto al horizonte en un ángulo distinto de cero [math] \ alpha [/ math], deje la superficie dura se inclina hacia el horizonte bajo un ángulo distinto de cero [matemática] \ theta [/ matemática] y así sucesivamente.


* En caso de que esto sea de interés para alguien: hice el diagrama en GeoGebra, tomando:

[matemáticas] r = 0.7 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] h_0 = 7 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

y normalizando la ecuación de la primera parábola:

[matemáticas] y (x) = h_0 – \ dfrac {g} {2v_0 ^ 2} \ cdot x ^ 2 \ tag * {} [/ matemáticas]

de tal manera que el coeficiente principal de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es una unidad:

[matemáticas] \ dfrac {g} {2v_0 ^ 2} = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

lo que esencialmente lo hace:

[matemáticas] y (x) = 7 – x ^ 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Las ecuaciones de las dos parábolas restantes se dejan como ejercicio para que el lector las encuentre.

Un número infinito de matemáticos entran a un bar …

La primera respuesta es ¿por qué tiene que ser útil? Ponemos una expectativa irrazonable de que las matemáticas sean útiles que no ponemos en las otras materias.

En este caso, en realidad es útil. ¿Cuál es el valor neto predeterminado de una serie de pagos de anualidades? Una serie geométrica.

[matemáticas] \ sum_ \ límites {i = 1} ^ {n} \ frac {P} {(1 + r) ^ i} [/ matemáticas]

Y esta es probablemente la expresión más fundamental en las matemáticas financieras. Una hipoteca, por ejemplo, es una cadena de 360 ​​pagos mensuales, incluso evaluados utilizando el mismo modelo de precios.

La serie geométrica proporciona una introducción a otros tipos de series infinitas que resultan ser bastante útiles; modelando una función como un polinomio infinito, o una onda compleja como una serie de formas de onda simples, o [math] \ pi [/ math] como una serie de fracciones.

Pero la otra razón por la que estás aprendiendo sobre la serie geométrica es que te está abriendo la mente a algo que puede ser infinito pero finito. Es decir, en las condiciones adecuadas, la serie geométrica converge. ¿Cuáles son esas condiciones? Para todas las otras series mencionadas anteriormente, ¿cómo probamos la convergencia? Los comparamos con las conocidas series geométricas.

La serie geométrica es la serie de potencia más simple porque todos sus coeficientes son 1. También es fácil mostrar convergencia. Por lo tanto, es útil para demostrar que otras series convergen a través de la prueba de comparación.

La serie geométrica aparece en todo tipo de lugares en matemáticas y física matemática.