Pregunta:
suponiendo la ausencia de fricción superficial, resistencia al aire y resistencia y viento, bajo gravedad uniforme, [matemática] v_0 << c [/ matemática] y así sucesivamente (en condiciones ideales, en la escuela secundaria), ¿cuál será el desplazamiento horizontal del punto? después de que deja de rebotar?
Solución
Bajo las condiciones ideales mencionadas, la velocidad horizontal del punto siempre permanecerá constante, e igual a [math] v_0 [/ math].
En el primer touchdown, que, hablando en términos generales, representa la mitad de un rebote o la mitad de una parábola , nuestro punto será [math] x_0 [/ math] unidades lejos del origen y luego hará rebotes completos o rastreará parábolas completas y así cubrirá [math] x_k [/ math] unidades de distancia entre rebotes consecutivos que comienzan con [math] k = 1 [/ math] como se muestra a continuación *:
Por lo tanto, si designamos el desplazamiento horizontal del punto como [math] \ mathbb {X} [/ math], tendremos:
[matemáticas] \ displaystyle \ mathbb {X} = x_0 + \ sum_ {k = 1} ^ nx_k \ tag {1} [/ matemáticas]
para algunos, no especificado por ahora, número de rebotes [math] n [/ math]. Podemos pensar en ( 1 ) como una fórmula que captura un cierto estado estable y dinámico .
Antes del primer touchdown, nuestro punto es caída libre desde la altura inicial [math] h_0 [/ math]. Por lo tanto, para el tiempo de vuelo inicial [math] t_0 [/ math] tenemos:
[matemáticas] h_0 = \ dfrac {gt_0 ^ 2} {2} \ tag {2} [/ matemáticas]
de donde:
[matemáticas] t_0 = \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ tag {3} [/ matemáticas]
Por lo tanto, para [math] x_0 [/ math] tenemos:
[matemáticas] x_0 = v_0t_0 = v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ tag {4} [/ matemáticas]
Ahora trabajaremos con el componente vertical de la velocidad del punto, así que designemos como [math] v_y [/ math].
De la ley de conservación de la energía se deduce que el punto tocará el suelo inicialmente con [math] v_ {y0} [/ math] tal que:
[matemáticas] v_ {y0} = \ sqrt {2gh_0} \ tag {5} [/ matemáticas]
En consecuencia, después de ese rebote se elevará en el aire con la velocidad vertical (inicial) [matemática] v_ {y1} [/ matemática] que se conoce (según la declaración del problema):
[matemáticas] v_ {y1} = v_ {y0} \ cdot r = r \ sqrt {2gh_0} \ tag {6} [/ matemáticas]
Después del segundo rebote, el punto saldrá al aire con la velocidad vertical (inicial) [matemática] v_ {y2} [/ matemática] tal que (utilizando [matemática] v_ {y1} [/ matemática] de ( 6 )):
[matemáticas] v_ {y2} = v_ {y1} \ cdot r = v_ {y0} \ cdot r \ cdot r = r ^ 2 \ sqrt {2gh_0} \ tag {7} [/ math]
Después del tercer rebote, el punto saldrá al aire con la velocidad vertical (inicial) [matemática] v_ {y3} [/ matemática] tal que (utilizando [matemática] v_ {y2} [/ matemática] de ( 7 )):
[matemáticas] v_ {y3} = v_ {y2} \ cdot r = v_ {y1} \ cdot r \ cdot r = v_ {y0} \ cdot r \ cdot r \ cdot r = r ^ 3 \ sqrt {2gh_0} \ etiqueta {8} [/ math]
y así.
Por lo tanto, argumentamos que después del rebote [math] k [/ math] -th la velocidad vertical inicial del punto [math] v_ {yk} [/ math] será:
[matemáticas] v_ {yk} = r ^ k \ sqrt {2gh_0}, \; k \ in \ mathbb {N} \ tag {9} [/ math]
Por brevedad, omitimos la deducción de la magnitud de la altura máxima [math] h_k [/ math] hasta la cual el punto sube en las condiciones dadas y lo tomamos como ya conocido:
[matemáticas] h_k = \ dfrac {v_ {yk} ^ 2} {2g} \ tag {10} [/ matemáticas]
Ponga [math] v_ {yk} [/ math] de ( 9 ) en ( 10 ):
[matemáticas] h_k = \ dfrac {r ^ {2k} 2gh_0} {2g} = h_0r ^ {2k} \ tag {11} [/ matemáticas]
(Observe que los picos de la parábola disminuyen más rápido que las velocidades verticales)
En consecuencia, el tiempo [matemáticas] t_k [/ matemáticas] para subir a la altura máxima [matemáticas] h_k [/ matemáticas] es:
[matemáticas] t_k = \ sqrt {\ dfrac {2h_k} {g}} \ tag {12} [/ matemáticas]
Ponga [math] h_k [/ math] de ( 11 ) en ( 12 ):
[matemáticas] t_k = \ sqrt {\ dfrac {2h_0r ^ {2k}} {g}} = r ^ k \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ tag {13} [/ matemáticas]
Pero consideramos que el tiempo que se tarda en subir a [matemáticas] h_k [/ matemáticas] es igual al tiempo que se tarda en descender de [matemáticas] h_k [/ matemáticas]. Por lo tanto, el tiempo total [matemático] T_k [/ matemático] que el punto permanece en el aire entre dos rebotes completos consecutivos es simplemente el doble que el de [matemático] t_k [/ matemático]:
[matemáticas] T_k = 2t_k = 2r ^ k \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ tag {14} [/ matemáticas]
Y dado que la componente horizontal de la velocidad del punto, [math] v_0 [/ math], siempre permanece igual, se deduce que para [math] x_k [/ math] tenemos:
[matemáticas] x_k = v_0 \ cdot T_k = 2v_0r ^ k \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ tag {15} [/ matemáticas]
Al volver a colocar ( 4 ) y ( 15 ) en ( 1 ), obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle \ mathbb {X} = v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} + 2v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ sum_ {k = 1} ^ nr ^ k \ etiqueta {16} [/ matemáticas]
o:
[matemáticas] \ displaystyle \ mathbb {X} = v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ left (1 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ nr ^ k \ right) \ tag {17} [ /matemáticas]
Ahora, ¿cómo traducimos las paradas suaves que rebotan en matemáticas difíciles?
Una forma: nuestro punto deja de rebotar si después del touchdown [matemático] n [/ matemático] no logra volar.
Eso, a su vez, significa que:
[matemáticas] h_n = h_0r ^ {2n} = 0 \ tag {18} [/ matemáticas]
Pero eso es herejía matemática porque [math] h_0 [/ math] es un número real distinto de cero, por lo que [math] r [/ math] y [math] n [/ math] es un número natural distinto de cero.
¿Cuándo ( 18 ) se convertirá en un buen ciudadano matemático?
Cuando recordamos el concepto de límite:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} h_0r ^ {2n} = 0 \ tag {19} [/ matemáticas]
porque, no lo olvides, [matemáticas] r <1 [/ matemáticas]. En otras palabras, tendemos [matemática] n [/ matemática] a infinito (positivo).
Así, una serie geométrica, con una ración común [matemáticas] r [/ matemáticas], cobra vida:
[matemáticas] \ displaystyle \ mathbb {X} = v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ left (1 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} r ^ k \ right) \ etiqueta {20} [/ math]
Pero ya sabemos eso:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} r ^ k = \ dfrac {r} {1-r} \ tag {21} [/ matemáticas]
Por lo tanto, poniendo ( 21 ) en ( 20 ) llegamos a la respuesta:
[matemática] \ mathbb {X} = v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ left (1+ \ dfrac {2r} {1-r} \ right) = \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ cdot \ dfrac {1-r + 2r} {1-r} \ tag * {} [/ matemáticas]
o:
[math] \ mathbb {X} = v_0 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ cdot \ dfrac {1 + r} {1-r} \ tag {22} [/ math]
¿Es asi?
¿No por qué no? Porque nuestro pollo esférico de densidad uniforme participa en un programa de millas de viajero frecuente (¿quién dijo que las gallinas no pueden volar?)
Como no tenemos una sino dos series geométricas aquí, también podríamos preguntar: ¿cuánta distancia vertical cubrió nuestro pollo antes de que se pusiera a tierra?
Bueno, ese es fácil:
[math] \ displaystyle \ mathbb {H} = h_0 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} h_k = \ tag * {} [/ math]
(según ( 11 ))
[matemáticas] \ displaystyle h_0 + 2h_0 \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} r ^ {2k} = \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle h_0 \ left (1 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} r ^ {2k} \ right) = \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] h_0 \ left (1+ \ dfrac {2r ^ 2} {1-r ^ 2} \ right) = h_0 \ cdot \ dfrac {1-r ^ 2 + 2r ^ 2} {1-r ^ 2} \ tag * {} [/ math]
o:
[math] \ mathbb {H} = h_0 \ cdot \ dfrac {1 + r ^ 2} {1-r ^ 2} \ tag {23} [/ math]
Es eso ?
Tenemos otra serie geométrica aquí que se escondía a la vista del avión todo el tiempo: el tiempo total [math] \ mathbb {T} [/ math] que el pollo pasó en el aire:
[matemáticas] \ displaystyle \ mathbb {T} = t_0 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} t_k = \ tag * {} [/ matemáticas]
(según ( 3 ) y ( 13 ))
[matemáticas] \ displaystyle t_0 + 2 \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} r ^ k = \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ left (1 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} r ^ k \ right) = \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ left (1+ \ dfrac {2r} {1-r} \ right) = \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ cdot \ dfrac {1-r + 2r} {1-r} \ tag * {} [/ math]
o:
[math] \ mathbb {T} = \ sqrt {\ dfrac {2h_0} {g}} \ cdot \ dfrac {1 + r} {1-r} \ tag {24} [/ math]
Extra para expertos: ahora puede embellecer el problema con variaciones adicionales: deje que [math] v_0 [/ math] apunte hacia arriba (o hacia abajo) con respecto al horizonte en un ángulo distinto de cero [math] \ alpha [/ math], deje la superficie dura se inclina hacia el horizonte bajo un ángulo distinto de cero [matemática] \ theta [/ matemática] y así sucesivamente.
* En caso de que esto sea de interés para alguien: hice el diagrama en GeoGebra, tomando:
[matemáticas] r = 0.7 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] h_0 = 7 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
y normalizando la ecuación de la primera parábola:
[matemáticas] y (x) = h_0 – \ dfrac {g} {2v_0 ^ 2} \ cdot x ^ 2 \ tag * {} [/ matemáticas]
de tal manera que el coeficiente principal de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es una unidad:
[matemáticas] \ dfrac {g} {2v_0 ^ 2} = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
lo que esencialmente lo hace:
[matemáticas] y (x) = 7 – x ^ 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Las ecuaciones de las dos parábolas restantes se dejan como ejercicio para que el lector las encuentre.