A y B son dos puntos en el plano xy. Si sus coordenadas son A (1,1) y B (5,5), ¿cuál es la ecuación del círculo para el cual AB es un diámetro?

Las otras respuestas están bien. Pensé en demostrar uno usando números complejos. Se basa en el hecho de que todos los ángulos subtendidos por un diámetro son ángulos rectos, o en términos de números complejos, puramente imaginarios.

En el plano complejo, nuestros puntos finales de diámetro son a [matemática] = 1-i [/ matemática] y [matemática] b = 5 + 5i. [/ math] (Lo anterior es una figura de uno de los enlaces a continuación donde utilicé [math] w [/ math] y [math] v [/ math] en lugar de [math] a [/ math] y [math] b. [/ math]) Cuando dividimos números complejos, eso resta ángulos. Necesitamos ese cociente para tener un ángulo [matemático] \ pm 90 ^ \ circ, [/ matemático] así que sea puramente imaginario. Entonces, una ecuación paramétrica para el círculo, donde el parámetro [math] t [/ math] se extiende sobre los reales, es

[matemáticas] \ dfrac {z – a} {z – b} = it [/ matemáticas]

Eso no es perfecto porque le falta el punto [matemáticas] z = b. [/ Matemáticas]

[matemáticas] za = it (zb) [/ matemáticas]

[matemáticas] z – (1-i) = it (z – (5 + 5i)) [/ matemáticas]

No es demasiado difícil de resolver para [matemáticas] z [/ matemáticas] y hacer otras cosas interesantes a partir de este formulario. Crea su propia trigonometría basada en triples pitagóricos. Por favor, consulte estos enlaces para más detalles.

La respuesta de Dean Rubine a ¿Cómo encuentro la ecuación cartesiana de [matemáticas] arg (\ frac {z-1} {zi}) = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]?

La respuesta de Dean Rubine a ¿Cuál es el lugar geométrico de [matemáticas] z [/ matemáticas] dado [matemáticas] \ arg \ big (\ dfrac {z-i + 3} {z + 3i-1} \ big) = \ dfrac {\ pi} {2} [/ matemáticas]?

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} AB & = \ sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2} \\ d & = \ sqrt {(5-1) ^ 2 + ( 5-1) ^ 2} \\ & = 4 \ sqrt {2} \\ \ implica r & = 2 \ sqrt {2} \\ \ implica r ^ 2 & = 8 \ end {split} \ end {ecuación} \ tag *{}[/matemáticas]

[matemáticas] \ text {Centro del círculo} = \ left (\ dfrac {1 + 5} {2}, \ dfrac {1 + 5} {2} \ right) = (3,3) \\\ text { Ecuación de un círculo:} \\ (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 \\ \ implica \ boxed {(x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 8} \ tag *{}[/matemáticas]

1. Encuentra el punto medio de los dos puntos. El razonamiento obvio te dice que es (3,3), que también es el centro del círculo.
2. Encuentre la distancia entre uno de los puntos dados y el centro para obtener el radio. Usando la fórmula de la distancia, encontramos que es la raíz 8.
3. Use la fórmula (x – h) ^ 2 + (y – k) ^ 2 = r ^ 2. Sustituye y resuelve r ^ 2, y coloca las coordenadas h y k.

Ahora debería obtener (x – 3) ^ 2 + (y – 3) ^ 2 = 8.

Espero que esto ayude.

AB = Sqrt [4 ^ 2 + 4 ^ 2] = sqrt32 = 4sqrt2

Radio = 2sqrt2

Radio ^ 2 = 8

Centro (3,3)

Ecuación de círculo

(x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 8

x ^ 2–6x + 9 + y ^ 2–6y + 9 = 8

x ^ 2 + y ^ 2-6x-6y + 10 = 0

x ^ 2 – 6x + y ^ 2 – 6y = -10

El centro del círculo sería bastante fácil de encontrar de un vistazo (3,3) y con un diámetro de 4√2 la ecuación será:

(x – shiftx) ^ 2 + (y – shifty) ^ 2 = radio ^ 2

Para que pueda conectar todos esos valores, combinar términos similares para que se vea más bonito, y listo. Día fácil.

shifyx = +3

shifty = +3

radio = 2√2

(x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (2√2) ^ 2

x ^ 2 – 6x + 9 + y ^ 2 – 6y + 9 = 8

x ^ 2 – 6x + y ^ 2 – 6y = -10

tadah!

Un círculo tiene una ecuación de 1 = ([xh] / r) ^ 2 + ([yk] / r) ^ 2 que puede reescribirse como

r ^ 2 = (x – h) ^ 2 + (y – k) ^ 2

Donde el centro es (h, k) y el radio es r.

El punto medio es el centro, [(1 + 5) / 2, (1 + 5) / 2] = (3,3)

El radio es la distancia entre A y el punto medio, (3,3). sqrrt [(3 – 1) ^ 2 + (3 – 1) ^ 2] = sqrrt (8)

8 = (x – 3) ^ 2 + (y – 3) ^ 2

Es la ecuación en forma diametral.

(x-1) (x-5) + (y-1) (y-5) = 0.