Puedes subir un poco más de un tercio del costado, pero no mucho. Para ver dónde tiene espacio de sobra, comience colocando 10 puntos en las posiciones típicas de la red, 3 en los vértices, 2 en cada lado a 1/3 de distancia de los vértices y 3 alrededor del centro. Rotúlelos (para que podamos saber de qué estamos hablando) para que A sea el vértice superior, B y C estén en la siguiente capa inferior, D, E y F sean la tercera capa y G a J sean la base.
ahora quite B y C, y mueva E verticalmente hasta que esté un poco más lejos de 1/3 de A (inicialmente estaba a una distancia de sqrt (3) / 6, que es más de 1/3).
Ahora D, en el lado izquierdo, no tiene nada que evite que suba (B desapareció y E subió), así que muévalo un poco hacia el lado izquierdo. Haga lo mismo con F en el lado derecho.
Ahora, si dibuja el círculo de radio 1/3 alrededor de D, ya no tocará el punto H en la base, habrá un área pequeña fuera del círculo alrededor de D, el círculo (del mismo radio) alrededor de G y en el izquierda de la vertical sobre H. Tome cualquier punto en el interior de esa área y mueva H allí. Mueve I al punto interior correspondiente en el lado derecho del triángulo.
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Todos los puntos que este construido tienen un poco más de 1/3 de distancia entre sí. Para ver esto, intente dibujar el esquema con GeoGebra como, y verifique dónde se cruzan los círculos de radio 1/3.