Si un círculo de unidades de radio [matemática] b [/ matemática] con un centro en [matemática] (0, b) [/ matemática] toca la línea [matemática] y = x- \ sqrt {2} [/ matemática], entonces, ¿cuál es el valor de [matemáticas] b [/ matemáticas]?

Answer 1

Generalicemos el problema un poco más.

Tenemos un círculo de radio [matemática] b [/ matemática], con su centro en [matemática] (0, b) [/ matemática]. Este círculo toca la línea: [matemáticas] y = mx + c [/ matemáticas]. Aquí, [math] m [/ math] y [math] c [/ math] son ​​conocidas, y tenemos que determinar [math] b [/ math].

El círculo toca la línea dada, por lo que la distancia entre el punto común a la línea y el círculo, y el centro del círculo es igual al radio, [matemáticas] b [/ matemáticas].

La afirmación anterior es el quid de la solución a esta pregunta.

Tenga en cuenta que [math] y = mx + c \ equiv mx-y + c = 0 [/ math].

Entonces, según la fórmula para la distancia entre un punto y una línea, a veces denominada DBPAL, tenemos,

[matemática] b = \ dfrac {| m (0) – (b) + c |} {\ sqrt {(m) ^ 2 + (- 1) ^ 2}} [/ matemática].

De esto, obtenemos,

[matemáticas] (m ^ 2 + 1) b ^ 2 + 2bc-c ^ 2 = 0 [/ matemáticas].

Resolviendo esta ecuación cuadrática usando, bueno, puedes usar cualquier cosa, prefiero la fórmula cuadrática, obtenemos,

[matemáticas] b = \ dfrac {c} {m ^ 2} (- 1 \ pm \ sqrt {1 + m ^ 2}) [/ matemáticas]

Ahí está nuestra respuesta, más o menos.

Todo lo que queda es sustituir los valores.

Entonces, obtenemos la respuesta final y podemos representarla como,

[matemáticas] b = \ {- 2+ \ sqrt {2}, 2 + \ sqrt {2} \} [/ matemáticas].

EDITAR: corrigió mi error.

Answer 2

Consideremos un círculo con radio b que tiene su centro en (0, b) que toca una línea y = x – [matemática] \ sqrt2 [/ matemática] en T y forma un ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] con [matemática] + [/ matemática] eje x.

Ecuación de línea (tangente),

[matemáticas] y = x – \ sqrt2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x – y = \ sqrt2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {x} {\ sqrt2} + \ dfrac {y} {- \ sqrt2} = 1 [/ matemáticas]

intercepción x = [matemática] \ sqrt2 [/ matemática] e intercepción y = [matemática] – \ sqrt2 [/ matemática]

[matemáticas] \ theta + \ angle TBC = 180 ° [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ángulo TBC = 180 ° – \ theta [/ matemáticas]

En el cuadrilátero OTBC,

[matemática] \ angle TOC + \ angle TBC + \ angle OTB + \ angle OCB = 360 ° [/ math]

[matemáticas] \ ángulo TOC + 180 ° – \ theta + 90 ° + 90 ° = 360 ° [/ matemáticas]

[matemática] \ angle TOC = \ theta [/ math]

Ecuación de tangente,

[matemáticas] y = x – \ sqrt2 [/ matemáticas]

Al comparar la ecuación anterior con y = mx + c obtenemos,

Pendiente [matemáticas] = m = tan \ theta = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ theta = tan ^ {- 1} 1 = 45 ° [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ ángulo TOC = 45 ° [/ matemáticas]

Como podemos observar que ∆OTA es un triángulo isósceles en ángulo recto,

[matemáticas] OT = AT = b \ enspace \ porque \ angle TOC = \ angle OAT = \ theta = 45 ° [/ math]

Del diagrama, [math] OA = OC + CA = b + \ sqrt2 [/ math]

Aplicando el teorema de Pitágoras en ∆OTA,

[matemáticas] OT ^ 2 + AT ^ 2 = OA ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2 + b ^ 2 = (b + \ sqrt2) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2b ^ 2 = (b + \ sqrt2) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2b ^ 2 = b ^ 2 + 2 \ sqrt2x + 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2 – 2 \ sqrt2x – 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2 – 2 \ sqrt2x + 2 – 4 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] b ^ 2 – 2 \ sqrt2x + (\ sqrt2) ^ 2 – 2 ^ 2 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] (b – \ sqrt2) ^ 2 – 2 ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (b- \ sqrt2 + 2) (b- \ sqrt2-2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {b = -2 + \ sqrt2 \ enspace o \ enspace 2 + \ sqrt2} [/ math]

Answer 3

La ecuación del círculo dado es:

[matemáticas] x ^ {2} + (yb) ^ {2} = b ^ {2}…. (1) [/ matemáticas]

Toca la línea [matemáticas] x = y + \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la ecuación [math] (1) [/ math] puede reescribirse como:

[matemáticas] y ^ {2} + \ sqrt {2} y + 2 + y ^ {2} + b ^ {2} – 2yb = b ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2y ^ {2} + y (\ sqrt {2} – 2b) + 2 = 0 [/ matemáticas]

En el centro donde [matemáticas] y = b, [/ matemáticas]

[matemáticas] 2b ^ {2} + \ sqrt {2} b – 2b ^ {2} + 2 = 0 [/ matemáticas]

Así,

[matemáticas] b = – \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Answer 4

La línea está a 45 grados con respecto al eje x. El punto de contacto (C) de la línea con el círculo será una tangente al círculo. El centro del círculo (O) se ubicará en el eje y, a una distancia de (b + 2 ^ 0.5) sobre la intersección de la línea con el eje y (digamos B). El triángulo OBC será un triángulo isósceles con ángulos de base de 45 grados. Así BC = OC = by OB = (b + 2 ^ 0.5). Por el teorema de Pitágoras

OB ^ 2 = BC ^ 2 + OC ^ 2, o

[(b + 2 ^ 0.5)] ^ 2 = b ^ 2 + b ^ 2. Resolviendo cuál obtenemos b – = 0.5 ^ 2.

Answer 5

Ecuación de línea: y = x-√2 o xy-√2 = 0. Dado que la línea toca el círculo, por lo tanto, la distancia de la línea desde el centro del círculo es igual al radio del círculo.

abs ((b + √2) / √2) = b

Cuadrando ambos lados,

b ^ 2 + 2 + 2√2b = 2b ^ 2

Entonces b ^ 2-2√2b-2 = 0, esto implica b = 2 + √2 o b = -2 + √2.