Cómo encontrar un cuboide cuya superficie es igual a su volumen algebraicamente. Aparentemente hay 10

Answer 1

Para encontrar un número finito de soluciones, supongo que solo se permiten soluciones enteras.

En primer lugar, necesitamos saber a qué área de superficie es igual:

Si los lados del cuboide están etiquetados x, y y z, entonces una de las caras tendrá área xy ya que el área es ancho multiplicado por la altura, la otra es yz y zx. También hay otra cara idéntica paralela a cada cara. Por lo tanto, el área de superficie total es 2xy + 2yz + 2zx.

El volumen es igual a xyz, entonces tenemos la ecuación

[matemáticas] xyz = 2xy + 2yz + 2zx [/ matemáticas]

Dividiendo por xyz obtenemos

[matemáticas] 1 = \ frac {2} {z} + \ frac {2} {x} + \ frac {2} {y} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] 0.5 = \ frac {1} {z} + \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} [/ matemáticas]

x, y, z deben ser todos positivos y, por lo tanto, deben ser mayores que 2. Sea x <y <z, solo para facilitar las cosas.

Una solución simple que se puede detectar es 6,6,6, que tiene un área de superficie y un volumen 216.

Esto significa que todas las soluciones deben contener una longitud inferior a 6 y una más de seis. Esto se debe a que si todas las longitudes son menores que 6, la suma de los inversos será mayor que la mitad y, de la misma manera, si todos son mayores que 6, entonces la suma de los inversos será menor que la mitad.

Como x es el número más pequeño, debe ser menor que 6 (aparte de en 6,6,6), y z debe ser mayor que 6.

Después de esto es solo un caso de búsqueda de soluciones, por lo que comenzaría con x = 3 y buscaría todas las soluciones y luego x = 4, luego finalmente x = 5. Si encuentra todas las soluciones a estos valores particulares de x, entonces ha encontrado Todas las soluciones.

Respuestas:

Para x = 3 las soluciones son (3,7,42), (3,8,24), (3,9,18), (3,10,15), (3,12,12)

Para x = 4 las soluciones son (4,5,20), (4,6,12), (4,8,8)

Para x = 5 las soluciones son (5,5,10)

Para x = 6 las soluciones son (6,6,6)

Estas son las 10 soluciones enteras posibles.

Answer 2

10? Nunca he considerado la pregunta antes, pero mi primer pensamiento fue que habría infinitos de esos. ¿Quizás solo hay 10 soluciones enteras?

La ecuación es muy simple. Simplemente configure la fórmula del volumen igual a la fórmula del área de superficie:

[matemáticas] lwh = 2lw + 2wh + 2lh [/ matemáticas]

La única restricción que tenemos que comenzar es que todas las dimensiones deben ser positivas, pero podemos ver fácilmente que esto implica que todas las dimensiones también deben ser mayores que 2. Para demostrar que solo asuma que cualquiera de los tres es igual a 2 y conéctelo a ambos lados:

[matemáticas] 2wh = 4w + 2wh + 4h [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = 4w + 4h [/ matemáticas]

Entonces ves que los otros dos tendrían que ser cero. Si alguno de ellos fuera menor que 2, al menos uno de los otros tendría que ser negativo.

Con esas restricciones establecidas, deberíamos ser capaces de generar soluciones simplemente eligiendo arbitrariamente cualquier longitud válida [math] l> 2 [/ math].

Por ejemplo, elija [math] l = 3 [/ math]:

[matemáticas] 3wh = 2 (3w + wh + 3h) [/ matemáticas]

[matemáticas] wh = 6 (w + h) [/ matemáticas]

Ahora tenemos una ecuación en dos variables. Vamos a resolverlo para que uno de ellos tenga una mejor idea de lo que hace.

[matemáticas] wh-6h = 6w [/ matemáticas]

[matemáticas] h (w-6) = 6w [/ matemáticas]

[matemáticas] h = \ frac {6w} {w-6} [/ matemáticas]

Entonces, [math] h (w) [/ math] es una función racional que es positiva siempre que [math] w> 6 [/ math]. Graficado, se ve así:

Puede ver que cualquier elección de [matemática] w> 6 [/ matemática] le dará una [matemática] h [/ matemática] válida, pero aquí hay dos soluciones en enteros [matemática] (9,18) [/ matemática ] y su reverso (por simetría). Aquí también se muestran otras soluciones enteras (como se indica en otras respuestas).

Así que aquí tenemos nuestra primera solución entera [matemática] (3,9,18) [/ matemática] (que da una caja cuyo volumen y área de superficie son 486) y la prueba de que hay infinitas soluciones.

Si el objetivo es contar soluciones enteras, diría que solo hemos encontrado una. Podemos asignar 3, 9 y 18 a la longitud, el ancho y la altura en cualquier orden, pero esto solo significa que podemos rotar el cuadro.

Este es todo el trabajo que haré por ti. Los siguientes pasos son probar [matemáticas] l = 4,5,6, … [/ matemáticas] y repetir el proceso anterior para ver cómo cambian las soluciones enteras. Encontrarás el cubo [matemáticas] (6,6,6) [/ matemáticas] en el camino y verás cómo cuando la longitud aumenta, el ancho y la altura disminuyen. Eventualmente, verá por qué ya ha generado todas las soluciones enteras posibles. ¡Buena suerte!

Answer 3

Bueno, esta pregunta es bastante sencilla: ya tienes una ecuación y tienes la tarea de encontrar la solución.

área = 2 (xy + yz + xz) = xyz = volumen

Entonces 1/2 = 1 / x + 1 / y + 1 / z

Supongo que están solicitando una solución entera. Así que encuentra exhaustivamente los posibles conjuntos de {x, y, z}. Piensa en una forma sistemática de hacer eso.

Answer 4

Para todos los lados iguales

Área = 6 x L ^ 2.

Volumen = L ^ 3

Área = volumen.

L = 6. Longitud del lado.

Se puede adoptar el mismo enfoque para lados desiguales.

Área = 2 × a × b + 2 × a × c + 2 × b × c

Volumen = a × b × c

Área = VOLUMEN

2ab + 2ac + 2bc = abc

2 × (ab + ac + bc) = abc

(ab + ac + bc) = abc / 2

Incompleto hará más tarde