¿Podemos etiquetar los vértices de un dodecaedro 1-20 de tal manera que sea fácil calcular los vecinos de cada vértice?

Answer 1

Esto es claramente dual para etiquetar las caras de un icosaedro, o como se sabe en los círculos de juego, un d20. También se pregunta si hay algo vagamente cercano a la forma en que un dado regular (cúbico) tiene caras adyacentes que suman 14, o lo que es lo mismo para los vértices de un octaedro.

Existe claramente una fórmula para un d4, o tetraedro, que es dual en sí mismo. Esto es 10-x, donde x es el valor de vértice / cara.

La forma normal de etiquetar dados es con caras opuestas que suman la misma cantidad. Como esto conduce a simetrías, por ahora mantén el ritmo normal.

La suma de 1 a 20 es 210, un promedio de 10.5, y cada vértice tiene tres vecinos. Sin embargo, hay 5 ciclos desagradables, 12 de ellos. Tiene sentido etiquetar un dado justo, en el sentido de que después de que 1 y 20 se colocan uno frente al otro, los tres vecinos de 1 son 11+ y <10, y así sucesivamente para los restantes.

El etiquetado normal probablemente estaría optimizado para obtener el promedio de la suma de un vértice y sus tres vecinos cerca de 42. Pero esto puede ser subóptimo en términos de fórmulas polinomiales de tres grados mínimos que, dado una x, dan a los tres vecinos.

Esto se puede hacer en una computadora iterando sobre todas las permutaciones. Después de eso, las curvas se pueden ajustar. Si la fórmula resultante es “fácil” es otra cuestión.

De todos modos, desafortunadamente, el dodecaedro es isomorfo a S5; consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Sy… para obtener más detalles, lo que significa que probablemente no será fácil. Pero es una excelente pregunta, y puedo estar equivocado 😉