¿Cuál es la respuesta exacta?

Answer 1

(Esos dos ángulos son bastante triviales, dados los dos triángulos isósceles)

De la regla del coseno, y el hecho de que a = a ‘, vemos que:

[matemáticas] | AC | ^ 2 = 2a ^ 2 – 2a ^ 2 \ cos 100 ° [/ matemáticas]

[matemáticas] | AC | ^ 2 = 2a ^ 2 (1 – \ cos 100 °) [/ matemáticas]

[matemáticas] | AC | = a \ sqrt {2 – 2 \ cos 100 °} [/ matemáticas]

Usando la fórmula del ángulo [matemáticas] \ cos t = – \ cos (180 – t) [/ matemáticas], y [matemáticas] \ cos 2t = \ cos ^ 2 t – \ sin ^ 2 t [/ matemáticas]:

[matemáticas] | AC | = a \ sqrt {2 + 2 \ cos 80 °} = a \ sqrt {2 (1+ \ cos ^ 2 40 ° – \ sin ^ 2 40 °)} [/ math]

[matemáticas] | AC | = 2a \ cos 40 ° [/ matemáticas]

(No es la forma más sencilla, también podría dividir el triángulo isósceles en dos triángulos rectangulares)

Y, porque BC = AC-AD:

[matemáticas] | AX | = | AD | = 2a \ cos 40 ° – a [/ matemáticas]

Ahora le arrojamos exactamente las mismas fórmulas:

[matemáticas] | DX | = 2 | AX | \ cos 20 ° = [/ matemáticas] [matemáticas] 2 (2a \ cos 40 ° – a) \ cos 20 ° [/ matemáticas]

Ahora calculemos [matemáticas] (\ cos 40 ° – \ frac {1} {2}) \ cos 20 ° [/ matemáticas]

Como recordarás, simpson dice:

[matemáticas] \ cos 2x = \ cos ^ 2 x – \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 2 x – 1 [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] (\ cos 40 ° – \ frac {1} {2}) = 2 \ cos ^ 2 20 ° – 1 – \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Y de acuerdo con WolframAlpha:

(EDITAR: en realidad, no necesitas WolframAlpha para eso, solo usa [math] \ cos 3x = 4 \ cos ^ 3 x – 3 \ cos x [/ math])

[matemáticas] (\ cos 40 ° – \ frac {1} {2}) \ cos 20 ° = \ frac {8} {4} \ cos ^ 3 20 ° – \ frac {6} {4} \ cos 20 ° – \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} = 0 + \ frac {1} {4} = \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

Por lo tanto, al conectar esto a los cálculos anteriores se obtiene:

[matemáticas] | DX | = a [/ matemáticas]

Ahora es un resultado interesante. Esto significa que el triángulo [matemáticas] DXC [/ matemáticas] también es isósceles.

El ángulo superior de este triángulo es [matemática] 160 ° [/ matemática], entonces [matemática] ADC = \ frac {180 ° – 140 °} {2} + \ frac {180 ° – 160 °} {2} = 30 ° [/ matemáticas]

Y ahi tienes.

Confía en mí si digo que este problema puede competir contra el problema de geometría fácil más difícil del mundo. Tiene las mismas características, ya que las matemáticas detrás de él se desmoronan cuando cambia el ángulo B.

Answer 2

Este es un gran problema. Cuando lo vi por primera vez en 1997, me dijeron que se podía resolver sin usar ningún “trigonometría” (como en ninguna Ley de senos, Ley de cosenos, etc.) No pude entender cómo, y continué trabajar de vez en cuando cuando estaba sentado en una aburrida conferencia o en una sala de espera. Finalmente descubrí la solución aproximadamente en 2003. Eso debe ser lo más que me ha llevado resolver un problema con éxito.

Aquí está la solución “elegante” a través de la construcción. Necesitarás un lápiz y papel para seguir. (Observe lo fácil que es usar el “Trig” como lo demuestran las otras respuestas).

1. Refleje el triángulo ABC sobre el segmento AB (y llame al vértice recién creado C ‘) y también sobre el segmento BC (y llame al vértice recién creado A’).
2. Ahora considere el triángulo A’BC ‘. El ángulo A’BC ‘debe ser de 60 grados, ya que es lo que queda de los 360 grados menos los tres ángulos de 100 grados.
3. Además, por construcción, A’B = BC ‘, entonces el triángulo A’BC’ es isósceles. Un triángulo isósceles con ángulo “central” de 60 grados debe ser equilátero. Entonces sabemos que A’B = A’C ‘= BC’.
4. Ahora, extienda el segmento A’C ‘hacia los puntos E y F para que el ángulo CAE sea de 90 grados y el ángulo ACF sea de 90 grados.
5. Observe que ACFE es un rectángulo, por lo que sabemos que AC = FE y que el ángulo A’FC es correcto.
6. Por simetría, sabemos que EC ‘= A’F.
7. Ahora extienda el segmento CF y el segmento BA ‘hasta que se crucen, llame a este punto de intersección G.
8. Observe que el ángulo C’A’B = ángulo GA’F. Y del triángulo equilátero anterior, sabemos que el ángulo C’A’B es de 60 grados, por lo que el ángulo GA’F también es de 60 grados.
9. Observe que el ángulo A’FG es de 90 grados desde que establecimos en (5) que A’FC es un ángulo recto.
10. Entonces concluimos que el ángulo A’GF es 30 grados y que el triángulo A’FG es un triángulo rectángulo 30/60/90. Observe que el ángulo A’GF también podría denominarse ángulo BGC.
11. Se deduce que el segmento A’F es la mitad de la longitud del segmento A’G.
12. Como A’F y EC ‘tienen la misma longitud, se deduce que A’F + EC’ = A’G.
13. De (3), sabemos que A’C ‘= A’B. Entonces con (12), sabemos que A’F + A’C ‘+ EC’ = A’G + A’B. Pero dado que estos segmentos se pueden combinar para concluir que EF = BG.
14. Pero EF = AC y BG = BD. Entonces los triángulos BCG y BCD son congruentes. Entonces ángulo BDC = ángulo BGC. Pero en (10), establecimos que el ángulo BGC es de 30 grados.
15. Concluimos que el ángulo ADC es de 30 grados.

Para referencia:

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Y ahí lo tienes. ¡Acabo de salvarte hace unos 6 años! En serio, ¡me alegra que me hayan hecho esta pregunta y me hayan dado la oportunidad de escribir esta solución, que es una de mis favoritas!

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( Nota : Utilicé un poco de información sobre los triángulos rectángulos 30/60/90 en el paso (10) que uno podría argumentar es “trig.” Sin embargo, un simple reflejo de un triángulo 30/60/90 sobre los resultados laterales de longitud media en un triángulo equilátero, por lo que la conclusión de que el lado corto es la mitad de la longitud de la hipotenusa se puede mostrar sin senos ni cosenos. Omití este paso ya que me pareció “obvio”. Ciertamente puede no ser “obvio” para otros.)

Answer 3

Puedo responder esto porque se hizo una variante de esta pregunta en la competencia matemática UMD 2016, problema 19.

Si BC = AC – AD, entonces BD debe ser igual a AC. Esto debería ser obvio porque BA y BC son de igual longitud. Denotemos el otro ángulo ACD como y.

De acuerdo con la ley de los senos,

[matemáticas] \ frac {\ sin {100}} {AC} = \ frac {\ sin {40}} {BC} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ frac {\ sin {40 + y}} {BD} = \ frac {\ sin {40-y}} {BC} [/ matemáticas]

Ahora, ya que BD = AC,

[matemáticas] \ frac {\ sin {100}} {\ sin {40}} = \ frac {\ sin {40 + y}} {\ sin {40 – y}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ sin {100}} {\ sin {40}} = \ frac {2 \ sin {50} \ cos {50}} {\ sin {40}} = 2 \ sin {50} = \ frac {\ sin {50}} {\ sin {30}} = \ frac {\ sin {40 + y}} {\ sin {40-y}} [/ matemáticas]

Es muy obvio ahora que y es 10 grados.

Como el ángulo DAC es de 140 grados, el ángulo x debe ser de 30 grados (180 – 140 – 10).

Answer 4

Deje que [math] AB [/ math] y [math] BC [/ math] se denoten por [math] a [/ math], [math] BA = BC = a; [/ math]

entonces [math] AC = a.2.sin (50) [/ math] y [math] AD = a. (2.sin (50) -1) [/ math];

Notamos también que [math] \ widehat {DAC} = 180-40 = 140; [/ math]

De acuerdo con la ley del coseno (teorema de El-Kashi):

[matemáticas] DC = \ sqrt {AD ^ 2 + AC ^ 2 – 2.AD.AC.cos (140)} = \ sqrt {(2.sin (50) -1) ^ 2 + 4.sin ^ 2 ( 50) -4 (2.sin (50) -1) .sin (50) .cos (140)}. A = ka [/ math]

dónde

[matemáticas] k = \ sqrt {(2.sin (50) -1) ^ 2 + 4.sin ^ 2 (50) -4 (2.sin (50) -1) .sin (50) .cos (140 )}[/matemáticas]

Por otro lado :

[matemáticas] \ frac {sin (x)} {AC} = \ frac {sin (140)} {DC} [/ matemáticas]

Produce que: [matemáticas] x = arsina (\ frac {AC} {DC} .sin (140)) = arsina (\ frac {2.sin (50) -1} {k} .sin (140)) [ /matemáticas]

dónde

[matemáticas] k = \ sqrt {(2.sin (50) -1) ^ 2 + 4.sin ^ 2 (50) -4 (2.sin (50) -1) .sin (50) .cos (140 )}[/matemáticas]
Espero que te pueda ayudar.

Answer 5

Esta pregunta es una metamorfosis del famoso “problema de geometría fácil más difícil”, que palidece cuando se toma en todo el espectro de la geometría olímpica. Basado en la experiencia pasada, ha aparecido en la Olimpiada Matemática de Singapur (sección Junior) más de una vez.

Aquí hay una solución sintética elemental (es decir, sin persecución de longitud computacional o trigonometría):

[matemática] BC = AC-AD \ Rightarrow BA + AD = BD = AC. [/ math]

Construya el punto [matemática] E [/ matemática] de manera que [matemática] ACE [/ matemática] sea un triángulo equilátero y [matemática] B, E [/ matemática] descanse en lados opuestos de [matemática] AC [/ matemática], como se muestra en la figura de arriba. Entonces

[matemática] BD = AC = CE, \ angle DBC = 100 ^ {\ circ} = \ angle BCE \ Rightarrow BC \ parallel DE [/ math] con [math] BCED [/ math] como un trapecio isósceles.

Sin embargo, esto también significa [matemáticas] \ angle ADE = 80 ^ {\ circ} = 180 ^ {\ circ} – \ angle BAE = \ angle DAE \ Rightarrow AE = DE [/ math]. Por lo tanto

[matemática] \ angle DEC = \ frac {180 ^ {\ circ} – \ angle DEC} {2} = 50 ^ {\ circ} [/ math]

[matemáticas] \ ángulo ACD = 10 ^ {\ circ} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ángulo ADC = x = 30 ^ {\ circ} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [math] E [/ math] es también el circuncentro del triángulo [math] ACD [/ math]. Una solución alternativa utiliza el resultado como se indica en el “problema de geometría fácil más difícil”, visto en el triángulo isósceles [matemático] A’BD [/ matemático] donde [matemático] A’B = AD [/ matemático] (mostrado en rojo) .

Answer 6

Usemos la regla seno para obtener nuestra primera ecuación usando lados [matemática] \ overline {AC} [/ math], [math] \ overline {BC} [/ math] y sus ángulos correspondientes:

(1) [matemáticas] \ dfrac {\ overline {AC}} {\ sin 100} = \ dfrac {\ overline {BC}} {\ sin 40} [/ math]

Sabemos que [matemáticas] \ overline {BA} = \ overline {BC} [/ math] y que [matemáticas] \ overline {AD} + \ overline {BC} = \ overline {AC} = \ overline {BD} [ /matemáticas]

Entonces, para la segunda ecuación:

(2) [math] \ dfrac {\ overline {AC}} {\ sin (80-x)} = \ dfrac {\ overline {BC}} {\ sin x} [/ math]

Resolver para [math] \ overline {AC} [/ math] en ambas ecuaciones da:

(1) [matemáticas] \ overline {AC} = \ overline {BC} \ dfrac {\ sin 100} {\ sin 40} [/ math]

(2) [matemáticas] \ overline {AC} = \ overline {BC} \ dfrac {\ sin (80-x)} {\ sin x} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ overline {BC} \ dfrac {\ sin 100} {\ sin 40} = \ overline {BC} \ dfrac {\ sin (80-x)} {\ sin x} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {\ sin 100} {\ sin 40} = \ dfrac {\ sin (80-x)} {\ sin x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ sin 100} {\ sin 40} \ sin x = \ sin (80-x) [/ matemáticas]

[math] \ dfrac {\ sin 100} {\ sin 40} [/ math] da [math] 1.5321 [/ math] (redondeado)

[matemáticas] 1.5321 \ sin x = \ sin (80-x) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1.5321 \ sin x = \ sin 80 \ cos x – \ sin x \ cos 80 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1.5321 \ sin x + \ sin x \ cos 80 = \ sin 80 \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin x (1.5321+ \ cos 80) = \ sin 80 \ cos x [/ matemáticas]

[matemática] \ cos 80 [/ matemática] da [matemática] 0.1736 [/ matemática] (redondeada) y [matemática] \ sin 80 [/ matemática] da [matemática] 0.9848 [/ matemática] (redondeada)

[matemáticas] 1.7057 \ sin x = 0.9848 \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] 1.7057 \ tan x = 0.9848 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan x = 0.5773 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 30 [/ matemáticas] grados

Answer 7

Aquí está mi solución. Mi solución es menos restrictiva que la de Michael Lamar (que voté positivamente, por cierto), quien autoimpuso una prohibición de las funciones trigonométricas. Voy a usar trigonometría, pero mi restricción autoimpuesta es:

No se me permite usar una calculadora.

En primer lugar, se nos da que [matemáticas] AB = BC [/ matemáticas] y que [matemáticas] BC = AC-AD [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] BD = AB + AD = BC + AD = AC [/ matemáticas]. Además, claramente los ángulos [matemática] BAC [/ matemática] y [matemática] BCA [/ matemática] son ​​ambos [matemática] 40 ^ \ circ [/ matemática], entonces el ángulo [matemática] CAD [/ matemática] es [matemática] 140 ^ \ circ [/ math] y el ángulo [math] ACD [/ math] es [math] 180 ^ \ circ- (140 ^ \ circ + x) = 40 ^ \ circ-x [/ math]. Por lo tanto, el ángulo [matemático] BCD [/ matemático] es [matemático] 40 ^ \ circ + 40 ^ \ circ-x = 80 ^ \ circ -x [/ matemático].

Considerando el triángulo [matemáticas] ABC [/ matemáticas], tenemos, usando la regla senoidal,

[matemáticas] \ dfrac {AC} {\ sin 100 ^ \ circ} = \ dfrac {BC} {\ sin 40 ^ \ circ}. [/ math]

Considerando el triángulo [matemáticas] BCD [/ matemáticas], y aplicando la regla seno nuevamente, obtenemos

[matemáticas] \ dfrac {BC} {\ sin x} = \ dfrac {BD} {\ sin (80 ^ \ circ-x)} = \ dfrac {AC} {\ sin (80 ^ \ circ-x)}. [/matemáticas]

Entonces [math] AC \ sin 40 ^ \ circ = BC \ sin 100 ^ \ circ [/ math] y [math] AC \ sin x = BC \ sin (80 ^ \ circ-x) [/ math].

Al dividir las dos ecuaciones anteriores entre sí, obtenemos una ecuación en [matemáticas] x [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ dfrac {\ sin 40 ^ \ circ} {\ sin x} = \ dfrac {\ sin 100 ^ \ circ} {\ sin (80 ^ \ circ-x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin 40 ^ \ circ \ sin (80 ^ \ circ-x) = \ sin 100 ^ \ circ \ sin x \ qquad [*] [/ matemáticas]

De ahora en adelante, ‘solo’ necesitamos resolver [matemáticas] [*] [/ matemáticas], y hemos terminado. La parte un poco difícil es resolver esto sin una calculadora.

En primer lugar, [math] \ sin 100 ^ \ circ = \ sin 80 ^ \ circ = 2 \ sin 40 ^ \ circ \ cos 40 ^ \ circ [/ math], entonces [math] [*] [/ math] se convierte en

[matemáticas] \ sin (80 ^ \ circ-x) = 2 \ cos 40 ^ \ circ \ sin x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin 80 ^ \ circ \ cos x – \ cos 80 ^ \ circ \ sin x = 2 \ cos 40 ^ \ circ \ sin x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin 80 ^ \ circ \ cos x = (2 \ cos 40 ^ \ circ + \ cos 80 ^ \ circ) \ sin x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan x = \ dfrac {\ sin 80 ^ \ circ} {2 \ cos 40 ^ \ circ + \ cos 80 ^ \ circ}. \ qquad [\ dagger] [/ math]

Considere el lado derecho de [math] [\ dagger] [/ math]. Multiplicamos tanto su numerador como su denominador por [math] \ cos 60 ^ \ circ = \ frac {1} {2} [/ math]:

[matemáticas] \ dfrac {\ sin 80 ^ \ circ} {2 \ cos 40 ^ \ circ + \ cos 80 ^ \ circ} = \ dfrac {\ sin 80 ^ \ circ \ cos 60 ^ \ circ} {\ cos 40 ^ \ circ + \ cos 80 ^ \ circ \ cos 60 ^ \ circ} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ frac {1} {2} (\ sin 140 ^ \ circ + \ sin 20 ^ \ circ)} {\ cos 40 ^ \ circ + \ frac {1} {2} (\ cos 20 ^ \ circ + \ cos 140 ^ \ circ)} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sin 40 ^ \ circ + \ sin 20 ^ \ circ} {2 \ cos 40 ^ \ circ + \ cos 20 ^ \ circ- \ cos 40 ^ \ circ} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sin 40 ^ \ circ + \ sin 20 ^ \ circ} {\ cos 40 ^ \ circ + \ cos 20 ^ \ circ} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {2 \ sen 30 ^ \ circ \ cos 10 ^ \ circ} {2 \ cos 30 ^ \ circ \ cos 10 ^ \ circ} [/ math]

[matemáticas] = \ tan 30 ^ \ circ. [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] [\ daga] [/ matemáticas] se convierte en

[matemáticas] \ tan x = \ tan 30 ^ \ circ [/ matemáticas]

y dado que [math] x [/ math] está entre [math] 0 ^ \ circ [/ math] y [math] 90 ^ \ circ [/ math], la ecuación anterior solo tiene una solución, a saber

[matemáticas] \ mathbf {x = 30 ^ \ circ.} [/ matemáticas]

Answer 8

Acabo de leer las primeras 9 respuestas, que son correctas, o al menos estoy de acuerdo con mi respuesta, pero presentaré mis cálculos como un método alternativo.

ABC es un triángulo isósceles y, por lo tanto, el ángulo BAC = ángulo BCA = 40 grados. A su vez, esto significa ángulo DAC = 140 grados. Esa es la parte fácil.

Como trataremos las razones, llame a BC = 1 = AB. Se nos da que BC = AC – AD o AC = BC + AD o AC = 1 + AD (AD también está normalizado, es decir, AD nuevo es igual a AD / BC anterior y lo mismo con AC).

Use la regla Sin, recordando que Sin (100) = Sin (80), y entonces AC / Sin (80) = BC / Sin (40) y con BC normalizado a 1, AC = Sin (80) / Sin (40) . Por lo tanto,

AD = Pecado (80) / Pecado (40) – 1

Ahora, ángulo BCD = ángulo BCA + ángulo ACD, que equivale a 40 grados más (40 – x) grados y, por lo tanto, ángulo BCD = (80 – x) grados y usando la regla de seno en el triángulo BCD:

BC / Sin (x) = BD / Sin (80 – x), que se convierte en

1 / Sin (x) = Sin (80) / Sin (40) / [Sin (80 – x)] (porque BD = AB + AD = Sin (80) / Sin (40)

Invierta ambos lados de esta ecuación para obtener

Sin (x) = Sin (40) (Sin (80 – x) / Sin (80). Ahora, Sin (40) / Sin (80) = 0.652703644 = k, digamos y así

Sin (x) = kSin (80 – x) = k [Sin (80) Cos (x) – Cos (80) Sin (x)] ahora divida por Sin (x):

1 = k [Sin (80) Cot (x) – Cos (80)]. Haga que Cot (x) sea el tema de la fórmula para obtener

Cot (x) = [1 + kCos (80)] / (kSin (80))

con todo lo que se conoce en el RHS, los valores constantes hacen el cálculo numérico usando una calculadora para obtener x = 30 grados

Answer 9

Desde [matemáticas] Triángulo [/ matemáticas] (ABC),

Como los lados AB = AC, los ángulos opuestos a los lados son igualmente iguales.

[matemática] Ángulo [/ matemática] (BAC) = [matemática] Ángulo [/ matemática] (BCA) = (180 – 100) / 2 = 40 [matemática] grado [/ matemática]

Uso de la regla [math] Sine [/ math] para [math] Triangle [/ math] (ABC)

BC / [matemáticas] seno [/ matemáticas] (40) = AC / [matemáticas] seno [/ matemáticas] (100) —-> Eq 1

[matemática] Ángulo [/ matemática] (CAD) = 180- [matemática] Ángulo [/ matemática] (BAC) = 180 – 40 = 140 [matemática] grado [/ matemática]

[matemática] Ángulo [/ matemática] (ACD) = 180-140 – x = (40 – x) [matemática] grado [/ matemática]

Uso de la regla [matemática] Seno [/ matemática] para el triángulo [matemática] [/ matemática] (ACD)

AC / [matemáticas] seno [/ matemáticas] (x) = AD / [matemáticas] seno [/ matemáticas] (40-x)

desde BC = AC- AD

[matemáticas] Seno [/ matemáticas] (40) * AC / [matemáticas] seno [/ matemáticas] (100) = AC – [matemáticas] seno [/ matemáticas] (40-x) * AC / [matemáticas] seno [/ matemáticas] (x) (Usando la ecuación 1)

Al resolver

[matemáticas] seno [/ matemáticas] (40) / [matemáticas] seno [/ matemáticas] (100) = 1- [matemáticas] seno [/ matemáticas] (40-x) / [matemáticas] seno [/ matemáticas] (x )

x = 30 [matemáticas] grados [/ matemáticas] Aproximadamente.

Gracias.

Answer 10

Encuentre el punto E en AC tal que AE = AD, entonces necesariamente EC = BC. Entonces tienes dos triángulos isósceles DAE y DEC. Puedes encontrar todos los ángulos por el hecho de que ABC es isósceles, los ángulos en la base del triángulo isósceles son iguales, el hecho de que todos los triángulos tienen una suma fija de ángulos y que una línea recta es un [matemático] 180 ^ o [ / matemáticas] ángulo. Estos hechos le permiten calcular ángulos DAE, ADE, luego DEC y EDC.

Answer 11

ese es un problema olímpico en matemáticas.

deje G en AC hecho bc = gc, luego ad = ag

después de usar la ley del coseno, encontramos que x = 30 grados

Answer 12

Actualización: no leí con suficiente atención. Sabes algo sobre la longitud, sabes “BC = AC-AD