El área de superficie mínima es [matemática] 704.676175410395 \ text {dm} ^ 2 [/ matemática] .
Cálculo:
Deje que [math] y [/ math] sea la altura del cuboide. Lo sabemos
[matemática] 2x ^ 2y = 600 \ text {L} = 600 \ text {dm} ^ 3 [/ math] donde 1 litro es 1 decímetro en cubos. Entonces, la relación entre [matemáticas] x [/ matemáticas] y la altura [matemáticas] y [/ matemáticas] debe ser
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[matemáticas] y = \ frac {600 \ text {dm} ^ 3} {2x ^ 2} = 300x ^ {- 2} [/ matemáticas]
Contando el área de cada cara dos veces porque tanto el interior como el exterior del cuboide son importantes en un cuboide de superficie abierta, el área de superficie [matemática] A [/ matemática] de un cuboide con una cara faltante y un rectángulo inferior con un área de cara de [ math] x \ times {2x} [/ math] es la suma de las siguientes áreas:
- [matemáticas] 2 \ veces {2x ^ 2} [/ matemáticas] (área de la cara inferior)
- [matemática] 2 \ veces {2} \ veces {2xy} [/ matemática] (Dos caras sobre los dos bordes largos de longitud [matemática] 2x [/ matemática])
- [matemática] 2 \ veces {2} \ veces {xy} [/ matemática] (Dos caras sobre los dos bordes cortos de longitud [matemática] x [/ matemática])
Entonces,
[matemáticas] A = 4x ^ 2 + 8xy + 4xy = 4x ^ 2 + 12xy [/ matemáticas]
Sustituyendo la relación altura-volumen, esto se convierte
[matemática] A = 4x ^ 2 + 12x \ veces {300x ^ {- 2}} = 4x ^ 2 + 3600x ^ {- 1} [/ matemática]
La variación del área de superficie con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] se encuentra por diferenciación:
[matemáticas] \ frac {\ text {d} A} {\ text {d} x} = 8x-3600x ^ {- 2} [/ matemáticas]
Para encontrar qué valor de [matemática] x [/ matemática] da esta área de superficie, encontramos el punto estacionario en el que ocurre esta área de superficie mínima, que es el punto donde cambiar las transiciones [matemática] x [/ matemática] disminuye el total área de superficie para aumentar el área de superficie total (o viceversa). Esto se hace configurando [math] \ frac {\ text {d} A} {\ text {d} x} [/ math] en [math] 0 [/ math]:
[matemáticas] 8x-3600x ^ {- 2} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 8x = 3600x ^ {- 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 3 = 3600/8 = 450 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ sqrt [3] {450} [/ matemáticas]
Confirme que el punto es un mínimo marcando la segunda derivada; un punto mínimo en [math] x = \ sqrt [3] {450} [/ math] requiere que la tasa de cambio de [math] A [/ math] vs [math] x [/ math] aumente a [math ] x = \ sqrt [3] {450} [/ math], por lo que la segunda derivada debería arrojar un valor positivo en [math] \ sqrt [3] {450} [/ math]:
[matemática] \ frac {\ text {d} ^ 2A} {\ text {d} x ^ 2} = 8 + 7200 \ veces (\ sqrt [3] {450}) ^ {- 3} = 24 [/ matemática ]
Sustituyendo el punto estacionario en la expresión original para el área de superficie [matemática] A [/ matemática], podemos obtener el área de superficie:
[matemáticas] A = 4 (\ sqrt [3] {450}) ^ 2 + 3600 \ veces (\ sqrt [3] {450}) ^ {- 1} = 704.676175410395 \ text {dm} ^ 2 [/ matemáticas]
Cheque:
La altura del cuboide en esta área de superficie mínima es
[matemáticas] y = 300 \ veces (\ sqrt [3] {450}) ^ {- 2} = 5.1087295492844 \ text {dm} [/ matemáticas]
Veamos si la respuesta de área de superficie mínima tiene sentido. Si este es realmente el área de superficie mínima, cambiar el ancho, la longitud o la altura incluso un poco aumentará el área de superficie. Para convencerse, intente calcular el área de superficie en los siguientes casos:
- aumentando [matemáticas] x [/ matemáticas] a [matemáticas] 7.7 \ text {dm} [/ matemáticas]
- disminuyendo [matemática] x [/ matemática] a [matemática] 7.6 \ text {dm} [/ matemática]
- aumentar la altura a [matemáticas] 5.5 \ text {dm} [/ matemáticas]
- disminuyendo la altura a [matemáticas] 5.0 \ text {dm} [/ matemáticas]
Caso 1:
Si [math] x = 7.7 \ text {dm} [/ math], entonces la altura [math] y [/ math] se calcula como
[math] y = 300 \ times7.7 ^ {- 2} = 5.05987518974532 \ text {dm} [/ math] para mantener la restricción de volumen total de 600 litros. La superficie es
[matemáticas] A = 4x ^ 2 + 12xy = 4 \ times {7.7} ^ 2 + 12 \ times {7.7} \ times {5.05987518974532} = 704.692467532468 \ text {dm} ^ 2 [/ math].
Caso 2:
Si [math] x = 7.6 \ text {dm} [/ math], entonces [math] y = 5.19390581717452 [/ math] y el área de superficie es
[matemáticas] A = 4 \ veces {7.6} ^ 2 + 12 \ veces {7.6} \ veces {5.19390581717452} = 704.724210526316 \ text {dm} ^ 2 [/ matemáticas].
Caso 3:
Si [math] y = 5.5 \ text {dm} [/ math], entonces [math] x = \ sqrt {\ frac {300} {5.5}} = 7.38548945875996 \ text {dm} [/ math] y el área de superficie es
[matemáticas] A = 4 \ veces {7.38548945875996} ^ 2 + 12 \ veces {7.38548945875996} \ veces {5.5} = 705.624122459976 \ text {dm} ^ 2 [/ matemáticas].
Caso 4:
Si [math] y = 5.0 \ text {dm} [/ math], entonces [math] x = 7.74596669241483 [/ math] y el área de superficie es
[matemáticas] A = 4 \ veces {7.74596669241483} ^ 2 + 12 \ veces {7.74596669241483} \ veces {5} = 704.75800154489 \ text {dm} ^ 2 [/ matemáticas].
Todo esto da como resultado un área que es más grande que nuestra área de superficie mínima calculada ([matemáticas] 704.676175410395 \ text {dm} ^ 2 [/ matemáticas]), por lo que debemos estar seguros de que nuestro cálculo es la superficie mínima alcanzable.
¡Espero que esto ayude!