¿Es posible tomar una serie de líneas rectas conectadas y redondear el lugar donde se encuentran para que toda la curva sea diferenciable?

Answer 1

Un poco depende de cuántos derivados quieras.

Si todo lo que desea es la primera derivada, entonces puede hacer fácilmente esa curva, todo lo que necesita hacer es hacer que las tangentes en los puntos finales coincidan y vuelvan a parametrizarse para que las curvas sean la velocidad unitaria. Existe bastante literatura sobre “curvas circulares por partes” que podrían incluir segmentos de línea recta. Mientras que la primera derivada coincide con la segunda derivada, tendrá saltos repentinos ya que las curvaturas de cada segmento son diferentes.

Para obtener segundas derivadas continuas (C2), puede considerar algo así como una curva Bézier compuesta. En estos puede requerir cualquier nivel de suavidad. Para la continuidad C2 necesita al menos un polinomio de tercer grado para unir las líneas. Esto se debe a que una línea recta tiene curvatura cero y ninguna elipse, parábola o hipérbola tiene curvatura cero.

Si desea derivados continuos de todos los pedidos, entonces debe considerar cosas más exóticas como las funciones Bump.