¿Cómo se relaciona la distancia (por ejemplo, la distancia euclidiana) con la medida (por ejemplo, la medida de Lebesgue)?

Answer 1

La distancia euclidiana entre dos puntos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] en la línea real [matemática] \ mathbf {R} [/ matemática] es la medida de Lebesgue del intervalo [matemática] [a, b] [/ matemáticas].

Generalizando, la distancia euclidiana entre dos puntos cualquiera [math] (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) [/ math] y [math] (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) [/ math] en algunos [math] \ mathbf {R} ^ {n} [/ math] es la medida de Lebesgue del conjunto

[matemáticas] S = \ {(\ lambda x_ {1} + (1- \ lambda) y_ {1}, \ ldots, \ lambda x_ {n} + (1- \ lambda) y_ {n}): \ lambda \ en [0,1] \} [/ matemáticas]

Uno puede mostrar usando las propiedades de la medida de Lebesgue solo que la medida de Lebesgue de [matemáticas] S [/ matemáticas] es de hecho [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -y_ {i}) ^ {2} [/ matemáticas].

La métrica euclidiana estándar en [math] \ mathbf {R} ^ {n} [/ math] puede ‘construirse’ utilizando la teoría de medidas de Lebesgue [1], ya que la medida formaliza la noción geométrica del volumen de conjuntos y las propiedades esperadas de tales volúmenes cuando los conjuntos se alteran de alguna manera (como traducirlos, escalarlos o rotarlos). ¿No son todas las pruebas del teorema de Pitágoras geométricas?

[1] Sin embargo, durante este procedimiento, uno tiene que descender de una teoría de medidas de dimensiones más altas a una de dimensiones más bajas, y por lo tanto, primero debe definir la medida de dimensiones más bajas en términos de, por ejemplo, el límite de una medida más alta -dimensional objeto que tiene una medida definida de mayor dimensión.

Answer 2

Considere un espacio métrico [matemática] (X, d) [/ matemática]. Con la métrica podemos definir el diámetro de un conjunto.

[matemáticas] \ text {diam} (A): = \ sup \ {d (x, y) | x, y, \ en A \} [/ matemáticas].

Usamos esto para definir las siguientes cantidades

[matemáticas] H _ {\ delta} ^ {d} (S): = \ inf \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ text {diam} (U_i) ^ d | \ cup_ {i = 1} ^ {\ infty} U_i \ supseteq S, \ text {diam} (U_i) \ leq \ delta \ right \} [/ math]

[matemáticas] H ^ {d} (S) = \ lim _ {\ delta \ rightarrow 0} H ^ {d} _ {\ delta} (S) [/ matemáticas]

La última cantidad es la medida externa de Hausdorff (se define en cada subconjunto de [matemáticas] X [/ matemáticas]). Su restricción a los conjuntos medibles de Caratheodory crea una medida.

Sorprendentemente, cuando [math] X = \ mathbb {R} ^ n [/ math] y [math] d [/ math] es la métrica euclidiana generada por la norma euclidiana, la medida resultante es solo una escala de la medida de Lebesgue.

Answer 3

Eso tiene que ver específicamente con la definición de la medida previa de lebesgue. Y la definición de la norma euclidiana.

En general tienen poco en común.