¿Cómo se resuelve una ecuación de un plano a través de tres puntos?

Answer 1

Un plano se define por cuatro números a, b, c, d que satisfacen ax + por + cz = d para todos los puntos (x, y, z) en el plano.

Si los tres puntos son (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), entonces los tres deben satisfacer la ecuación anterior. Tenga en cuenta que tenemos tres ecuaciones en cuatro variables, por lo que una de ellas es libre de determinar.

Resolver las tres ecuaciones resultantes para a, b, c produce

[matemáticas] a = \ frac {d} {\ Delta} \ left [y_ {1} \ left (z_ {3} -z_ {2} \ right) + y_ {2} \ left (z_ {1} -z_ {3} \ right) + y_ {3} \ left (z_ {2} -z_ {1} \ right) \ right] [/ math]

[matemáticas] b = \ frac {d} {\ Delta} \ left [x_ {1} \ left (z_ {2} -z_ {3} \ right) + x_ {2} \ left (z_ {2} -z_ {1} \ right) + x_ {3} \ left (z_ {1} -z_ {2} \ right) \ right] [/ math]

[matemáticas] c = \ frac {d} {\ Delta} \ left [x_ {1} \ left (y_ {2} -y_ {3} \ right) + x_ {2} \ left (y_ {3} -y_ {1} \ right) + x_ {3} \ left (y_ {1} -y_ {2} \ right) \ right] [/ math],

con

[matemáticas] \ Delta = x_ {1} \ left (y_ {3} z_ {2} -y_ {2} z_ {3} \ right) + x_ {2} \ left (y_ {1} z_ {3} – y_ {3} z_ {1} \ right) + x_ {3} \ left (y_ {2} z_ {2} -y_ {1} z_ {2} \ right). [/ math]

Sin embargo, tenga en cuenta que esto solo funciona si [math] d \ neq0 [/ math]. Entonces, ¿cómo podemos saber de antemano si [math] d \ neq0 [/ math] o no? Lo bueno es que no necesitamos hacerlo. Como dijimos antes, podemos establecer el valor que queramos para [math] d [/ math], así que elija [math] d = \ Delta [/ math]. Bajo esta elección, encontramos que el plano está definido por la ecuación

[matemáticas] \ left [y_ {1} \ left (z_ {3} -z_ {2} \ right) + y_ {2} \ left (z_ {1} -z_ {3} \ right) + y_ {3} \ left (z_ {2} -z_ {1} \ right) \ right] x + \ left [x_ {1} \ left (z_ {2} -z_ {3} \ right) + x_ {2} \ left (z_ {2} -z_ {1} \ right) + x_ {3} \ left (z_ {1} -z_ {2} \ right) \ right] y + \ left [x_ {1} \ left (y_ {2} – y_ {3} \ right) + x_ {2} \ left (y_ {3} -y_ {1} \ right) + x_ {3} \ left (y_ {1} -y_ {2} \ right) \ right] z = \ Delta [/ matemáticas]

que no tiene ninguna singularidad.

Answer 2

Gracias por A2A

Un plano P puede determinarse por un punto p en P y un vector v perpendicular a P.

Ahora, use los tres puntos (como diferencia entre los puntos) para construir dos vectores en el plano. Ahora que tiene dos vectores [math] v_1, v_2 [/ math] en P, encuentre su producto cruzado [math] v = v_1 \ times v_2 [/ math], que es perpendicular a todos los puntos en P; entonces tienes un punto, elige cualquiera de los que te dieron, y un vector v perpendicular a P. Esto te da la ecuación del plano.