El teorema de la suma de dos cuadrados nos dice que los enteros de la forma [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemática] deben tener exponentes pares en primos de la forma [matemática] 4k + 3 [/ matemática]: 3, 7 , 11, 19, etc., y que todos esos números son representables. Además, este conjunto de números se cierra bajo multiplicación, por la identidad Brahmagupta-Fibonacci: [matemáticas] (a ^ 2 + d ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2) = (ab-cd) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces, si queremos que nuestro entero resultante sea igual a un primo de esta forma, entonces exactamente una de las variables debe tener este primo como factor. (El numerador tiene un exponente par, por lo que el denominador debe tener un recuento impar).
Primero necesitamos un lema: si un primo [matemático] p [/ matemático] de la forma [matemático] 4k + 3 [/ matemático] divide [matemático] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemático], entonces [matemático] p \ mid a [/ math] y [math] p \ mid b [/ math].
Prueba: sobre los enteros gaussianos, [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemática] factores como [matemática] (a + bi) (a-bi) [/ matemática] y [matemática] p + 0i [/ math] es primo (porque es un número entero congruente con 3 módulo 4). Por lo tanto, [math] p \ mid (a + bi) [/ math] o [math] p \ mid (a-bi) [/ math ] En cualquier caso, se deduce que [matemática] p [/ matemática] divide tanto [matemática] a [/ matemática] como [matemática] b [/ matemática]. QED
- ¿Crees que la hipótesis de Riemann es incluso posible de probar o refutar y qué tal el resto de los problemas del Milenio?
- ¿Para qué sirve la función aritmética?
- ¿Existe un algoritmo de búsqueda local para problemas que contienen números enteros o incluso variables enteras no ordenadas?
- ¿Crees que hay algo interesante sobre la fórmula [matemáticas] n ^ 2- [n + 1] [/ matemáticas]?
- ¿Por qué es [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {(m) (m-1) … (m-n + 1)} {n!} = 0 [/ math], donde m es real número, yn es un entero positivo?
Ahora, armado con el lema, suponga [matemáticas] (a ^ 2 + d ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2) / abcd = p = 4k + 3 [/ matemáticas]. Entonces [math] p [/ math] divide uno de los términos en el numerador (un número par de veces) y exactamente una de las variables (un número impar de veces). Pero según el lema [math] p [ / math] debe dividir dos de las variables, [math] a [/ math] y [math] d [/ math], o [math] b [/ math] y [math] c [/ math]. Esto contradice nuestro requisito de que sean coprimos.
Por lo tanto, ningún primo de la forma [matemática] 4k + 3 [/ matemática], de los cuales hay infinitos, se puede representar en la forma dada.