¿Es uno de seno o coseno redundante?

Answer 1

¿Es uno de seno o coseno redundante?

El seno y el coseno son equivalentes, excepto por su cambio de fase pi / 2. En este sentido, ¿debería uno de ellos ser eliminado ya que uno es solo una forma intrínseca del otro? Sé que la combinación de ellos forma hermosos resultados matemáticos, como la fórmula de Euler. ¿Es poco práctico este enfoque reduccionista?

No, no son redundantes, y sí, el enfoque “reduccionista” no es práctico.

Si ha estudiado algunas ecuaciones diferenciales, puede saber que una ecuación diferencial de grado [matemática] n [/ matemática] (que satisface algunas condiciones) tiene soluciones linealmente independientes [matemática] n [/ matemática]. Así, la ecuación de grado 2
[matemáticas] y ” + y = 0 [/ matemáticas]
tiene dos soluciones linealmente independientes. El seno y el coseno son el par más simple de soluciones linealmente independientes. Claro, puede llamarlos “seno y seno traducido”, pero esto solo oscurece el hecho de que son dos funciones.

También existe el problema de que no se puede hablar sobre “seno traducido” sin saber cuál es la constante de traducción correcta, mientras que el uso de seno y coseno evita las molestias.

Answer 2

Seguramente, puede eliminar el coseno y simplemente usar el seno con desplazamiento de fase, pero no podrá expresar lo siguiente maravillosamente:

1. [matemáticas] \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x \ equiv1 [/ matemáticas]
2. [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]
3. [matemáticas] \ dfrac {\ mathrm d ^ 4} {\ mathrm dx ^ 4} \ sen x = \ dfrac {\ mathrm d ^ 3} {\ mathrm dx ^ 3} \ cos x = \ dfrac {\ mathrm d ^ 2} {\ mathrm dx ^ 2} – \ sen x = \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} – \ cos x = \ sin x [/ math]
4. [matemáticas] \ sin (a + b) = \ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b [/ matemáticas]
5. [matemáticas] \ cos (a + b) = \ cos a \ cos b- \ sin a \ sin b [/ matemáticas]
6. [matemáticas] \ sin (2x) = 2 \ sen x \ cos x [/ matemáticas]
7. [matemáticas] \ cos (2x) = \ cos ^ 2x- \ sin ^ 2x [/ matemáticas]
8. [matemáticas] \ sin \ left (\ dfrac x2 \ right) = \ pm \ sqrt {\ dfrac {1- \ cos x} 2} [/ math]
9. [matemáticas] \ cos \ left (\ dfrac x2 \ right) = \ pm \ sqrt {\ dfrac {1+ \ cos x} 2} [/ math]
10. [matemáticas] \ tan \ left (\ dfrac x2 \ right) = \ pm \ sqrt {\ dfrac {1- \ cos x} {1+ \ cos x}} = \ dfrac {1- \ cos x} {\ sin x} = \ dfrac {\ sin x} {1+ \ cos x} [/ math]

Y muchas otras identidades elegantes.

Esencialmente, [math] \ sin [/ math] y [math] \ cos [/ math] forman la base de las funciones trigonométricas, en el sentido de que [math] A \ sin (x + B) [/ math] puede expresarse como combinaciones lineales de [math] \ sin [/ math] y [math] \ cos [/ math]. Esto nos permite expresar las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias con ecuaciones auxiliares que tienen raíces no reales como algunas combinaciones de [math] \ sin [/ math] y \ [math] cos [/ math]. Por ejemplo, como ha dicho la otra respuesta, [math] y ” = – y [/ math] da [math] A \ sin (x) + B \ cos (x) [/ math].

Además, si eliminamos el coseno, ¿por qué no eliminamos también los otros? Las otras funciones trigonométricas son solo derivaciones de seno y coseno. Así no es como funcionan las matemáticas.

Answer 3

Desde la perspectiva de la vieja escuela, el enfoque reduccionista introduce muchos cambios poco prácticos, así como la posibilidad de error y falta de claridad.

Si tenía un libro de texto de principios de la década de 1970 y estaba resolviendo problemas de palabras relacionados con escaleras y paredes y ángulos, entonces sí, se podría haber ahorrado un poco de tinta en la impresión, al tener una tabla de senos / cosenos, con los ángulos aumentando hacia abajo y aumentando las páginas, en lados opuestos de cada fila de la tabla. Pero el costo se pagaría en letra pequeña y confusión constante, así como un sistema de notación que ni siquiera existe ahora.

Y más personas odiarán las matemáticas porque una vez más, resolvieron algo como el ángulo de la escalera en la pared en lugar del ángulo con respecto al suelo.

Todo el trabajo de épocas pasadas todavía haría referencia a senos y cosenos y nuestra nueva cosecha de estudiantes no conocería el sistema de notación.

Una vez que ingrese al ámbito del cálculo, encontramos ecuaciones que necesitarían usar rotaciones de cuarto de pi de theta en combinaciones de nuestra nueva función multipropósito que reemplaza seno y coseno. Ya es bastante difícil aprender las muchas igualdades útiles en su forma actual.

Answer 4

El coseno es solo el seno del ángulo complementario; eso es lo que significa su nombre. En ese sentido es redundante.

Sin embargo, es conveniente tenerlo para trigonometría y para otras aplicaciones. Por ejemplo, la ecuación diferencial armónica [matemática] y ” = – y [/ matemática] tiene la solución general [matemática] y = A \ sen t + B \ cos t [/ matemática] en la que ni seno ni coseno son más importante.

Es como decir que “izquierda” es redundante ya que izquierda es lo opuesto a derecha, pero es conveniente tener nombres para izquierda y derecha, y ninguno es más importante que el otro.

Answer 5

Cada palabra es redundante con su definición. Definimos y usamos una palabra donde el beneficio de hacerlo supera los inconvenientes de un vocabulario aumentado. El coseno se discute con la suficiente frecuencia como para merecer una palabra.