La función de Möbius [matemáticas] \ mu [/ matemáticas] se define de la siguiente manera
[matemáticas] \ displaystyle \ mu (n) = \ begin {cases} 1 & \ text {if} n \ text {no tiene cuadrados y tiene un número par de factores primos} \\ -1 & \ text {if} n \ text {no tiene cuadrados y tiene un número impar de factores primos} \\ 0 & \ text {if} n \ text {no está libre de cuadrados} \ end {cases} [/ math].
(Aquí, sin cuadrado significa que no hay división cuadrada [matemática] n [/ matemática]).
La función Möbius tiene muchas propiedades agradables. Por ejemplo, si [math] a, b [/ math] son números coprimos (es decir, no tienen factores primos en común), entonces [math] \ mu (ab) = \ mu (a) \ mu (b) [/ matemáticas].
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Otra propiedad importante es que
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {d | n} \ mu (d) = \ begin {cases} 1 & \ text {if} n = 1 \\ 0 & \ text {if} n> 1 \ end {cases} [/matemáticas].
(Aquí [matemática] d | n [/ matemática] significa que [matemática] d [/ matemática] divide [matemática] n [/ matemática]. En otras palabras, sumamos todos los factores de [matemática] n [/ matemáticas].)
Esto lleva a la famosa fórmula de inversión de Möbius, que dice que si
[matemáticas] \ displaystyle f (n) = \ sum_ {d | n} g (d) [/ matemáticas],
entonces
[matemáticas] \ displaystyle g (n) = \ sum_ {d | n} \ mu (d) f \ left (\ frac {n} {d} \ right) [/ math].
Probemos esto. Tenemos
[matemáticas] \ begin {align *} \ sum_ {d | n} \ mu (d) f \ left (\ frac {n} {d} \ right) & = \ sum_ {d | n} \ mu (d) \ sum_ {k | n / d} g (k) \\ & = \ sum_ {d | n} \ sum_ {k | n / d} g (k) \ mu (d) \\ & = \ sum _ {\ subesque {1 \ leq k, d \ leq n \\ kd = n}} g (k) \ mu (d) \\ & = \ sum_ {k | n} \ sum_ {d | n / k} g (k ) \ mu (d) \\ & = \ sum_ {k | n} g (k) \ sum_ {d | n / k} \ mu (d) \\ & = \ sum_ {k | n} g (k) 1_ {n / k = 1} = g (n) \ end {align *} [/ math].
(Aquí [matemática] 1_ {n / k = 1} [/ matemática] es una expresión que es [matemática] 1 [/ matemática] si [matemática] n / k = 1 [/ matemática] y es [matemática] 0 [ / matemáticas] de lo contrario.)
La fórmula de inversión de Möbius es algo agradable de tener en el cinturón de herramientas, ya que permite relacionar varias series entre sí. Por ejemplo, uno puede usarlo para derivar una fórmula para los polinomios ciclotómicos.
Los polinomios ciclotómicos [math] \ Phi_d (x) [/ math] son polinomios enteros definidos por la propiedad que
[matemáticas] x ^ n – 1 = \ prod_ {d | n} \ Phi_d (x) [/ matemáticas].
Por ejemplo,
[matemáticas] \ Phi_1 (x) = x – 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] \ Phi_2 (x) = x + 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] \ Phi_3 (x) = x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] \ Phi_4 (x) = x ^ 2 + 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] \ Phi_5 (x) = x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] \ Phi_6 (x) = x ^ 2 – x + 1 [/ matemáticas].
Esta definición es molestamente recursiva. Podemos dar un mejor método para calcular los polinomios ciclotómicos. Específicamente, mostraremos que
[matemáticas] \ Phi_n (x) = \ prod_ {d | n} \ left (x ^ {\ frac {n} {d}} – 1 \ right) ^ {\ mu (d)} [/ math].
Para hacer esto, primero tome el logaritmo para ver que
[matemáticas] \ log (x ^ n – 1) = \ sum_ {d | n} \ log \ left (\ Phi_d (x) \ right) [/ math].
Entonces, podemos usar la fórmula de inversión de Möbius para obtener
[matemáticas] \ begin {align *} \ log \ left (\ Phi_n (x) \ right) & = \ sum_ {d | n} \ mu (d) \ log \ left (x ^ {\ frac {n} { d}} – 1 \ right) \\ & = \ log \ left (\ prod_ {d | n} \ left (x ^ {\ frac {n} {d}} – 1 \ right) ^ {\ mu (d )} \ right) \ end {align *} [/ math].
Cancelando el logaritmo en ambos lados, tenemos
[matemáticas] \ Phi_n (x) = \ prod_ {d | n} \ left (x ^ {\ frac {n} {d}} – 1 \ right) ^ {\ mu (d)} [/ math].