Cómo estimar el número de soluciones en el teorema de Roth

Answer 1

Para una [matemática] \ alpha [/ matemática] y [matemática] \ epsilon [/ matemática] dada, la pregunta puede traducirse en una estimación del número de puntos integrales en una curva determinada (definida por la ecuación que define [matemática] \ alpha [/ math], reorganizado para las variables enteras [math] p [/ math] y [math] q [/ math] y perturbado para acomodar el término de error).

Existen estimaciones efectivas sobre el número de puntos enteros en las curvas. Véase, por ejemplo, el artículo de Silverman “Una versión cuantitativa del teorema de Siegel: puntos integrales en curvas elípticas y curvas catalanas”, J. Reine Angew. Matemáticas. 378 (1987), 60-100.

Llevar a cabo este plan en general, es decir, escribir una estimación explícita del número de soluciones en términos de [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas] y la altura de [matemáticas] \ alfa [/ matemáticas] – sería bastante engorroso, pero no me sorprendería si puede encontrar tal cálculo, con algunas excavaciones.

Answer 2

Supongamos que eliminamos el requisito de que [math] p [/ math] debe ser un número entero. Entonces, la medida total del conjunto de soluciones es [matemáticas] 2 \ sum_q q ^ {- (1+ \ epsilon)} \ simeq 2 \ int _ {(e-1) ^ {- 1}} ^ \ infty x ^ {- (1+ \ epsilon)} dx = 2 \ epsilon ^ {- 1} + O (1) [/ math].

Entonces, el número de soluciones es aproximadamente proporcional a [math] 1 / \ epsilon [/ math].