¿Cuál es el número de enteros positivos para x si f (x) = x ^ 3 – 8x ^ 2 + 20x – 13, es un número primo?

[matemáticas] f (x) = x ^ 3-7x ^ 2 + 13x -x ^ 2 + 7x -13 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x-1) (x ^ 2-7x +13) [/ matemáticas]

Si x es un entero, entonces [math] (x-1) [/ math] y [math] (x ^ 2-7x + 13) [/ math] son ​​enteros.

El producto de dos enteros es primo, [matemática] \ pm p [/ matemática] [matemática] [/ matemática] solo si uno de ellos es [matemática] \ pm 1 [/ matemática] y el otro es [matemática] \ pm p [/ matemáticas].

Si [math] (x-1) = \ pm 1 \ rightarrow x = 0,2 [/ math].

Para [math] x = 0 [/ math] y [math] 2 [/ math], [math] (x ^ 2-7x + 13) [/ math] es primo.

Ahora, si [matemática] (x ^ 2-7x + 13) = \ pm 1 \ rightarrow x = 3,4 [/ matemática] (y otros 2 números no integrales)

Nuevamente, tanto para [matemática] x = 3 [/ matemática] como [matemática] 4 [/ matemática], [matemática] (x-1) [/ matemática] es primo.

Por lo tanto, tenemos tres valores integrales positivos de x para los cuales [matemática] f (x) [/ matemática] es igual a un primo

Expresión dada = (x-1) (x * x-7x + 13)

Para un número primo necesitamos

(i) x-1 = 1 o x = 2

O

(ii) x * x-7x + 13 = 1 o, (x-3) (x-4) = 0

x = 3 o 4

Los enteros 2,3 o 4 funcionan bien