¿Por qué no se prueba la conjetura de Collatz? Educación te da un futuro mejor

Gracias por el A2A. Es una pregunta justa (IMO). Considere esta tabla, que parece responder una pregunta definitivamente y otra heurísticamente:

Solo en esta tabla de números impares, cada valor en las columnas de entrada tiene su siguiente valor en la misma fila en las columnas de salida. La forma de leer esta tabla es elegir un número, digamos 27, del lado de entrada. Mire a la derecha y verá en la misma fila en el lado de salida 41. Luego busque 41 en la entrada y encuentre el 31 correspondiente en la salida. Esta es una secuencia de Collatz de los números impares.

Así es como se construye la tabla. Se basa solo en tres reglas:

( a ) Si [matemática] n + 1 [/ matemática] es divisible por [matemática] 4 [/ matemática], multiplique por [matemática] 1.5 [/ matemática]
( b ) si [matemática] n-1 [/ matemática] es divisible por [matemática] 8 [/ matemática], multiplique por [matemática] 0.75 [/ matemática]
( c ) Si no, multiplica [matemática] n-1 [/ matemática] por [matemática] 0.25 [/ matemática]

Con las reglas a, b, c, tenemos las columnas de entrada y salida en la tabla.

Se deriva de observar los números impares de una secuencia de Collatz, a partir de la cual podemos definir esta función:

[matemáticas] f (n) = \ begin {cases} n + \ frac {n + 1} {2} & \ mbox {if} n + 1 \ equiv 0 \ mbox {(mod} 4) \\ n- \ frac {n-1} {4} & \ mbox {if} n-1 \ equiv 0 \ mbox {(mod} 8) \\ \ frac {n- \ frac {n + 1} {2}} {2} & \ mbox {de lo contrario} \ end {cases} [/ math]

Esta función es nueva: no la encontrarás en ninguna parte, excepto en mis publicaciones. He explicado en algunas de estas respuestas sobre el significado de esta función. Genera un superconjunto adecuado de los números impares de cada secuencia. Se prescinde de [math] 3n + 1 [/ math] completamente, sorprendentemente, no tiene nada de especial, por lo que las secuencias extrañas pueden contener múltiplos de [math] 3 [/ math].

Ciclicidad: en la tabla, todos los números de entrada tienen intervalos constantes según su divisibilidad. Cada número de salida también es un número de entrada. Las clases de congruencia a, b, c siempre deben ser congruentes entre sí. Con la excepción de [math] 1 [/ math], todos los números de entrada y salida se representan una vez.

Por lo tanto, si cada número impar tiene solo una entrada [matemática] n [/ matemática] y solo una salida [matemática] n [/ matemática], no puede haber un ciclo.

Por lo tanto, la ciclicidad no es posible dadas las reglas elementales de divisibilidad y multiplicación descritas aquí. Demostrar que esto es cierto para números impares significa que debe ser cierto para todos los números . Los números pares son siempre mayores que los impares debido a [matemática] 3n + 1 [/ matemática] , pero los exponentes de [matemática] 2 [/ matemática] siempre son divisibles por [matemática] 2 [/ matemática] hasta [matemática] n [/ math] es impar nuevamente.

La cuestión de que cada secuencia tenga un tiempo de detención finito de [math] 1 [/ math] se complica por la aleatoriedad observable de los módulos sujetos a multiplicación por 1.5, 0.75 y 0.25. De hecho, su distribución es combinatoriamente fija. Aquí reúno los valores de entrada y salida y asigno sus valores a, b o c:

Como puede ver, hay un conjunto combinatorio de 16 que se repite exactamente en el mismo orden con una frecuencia de a = 8, b = 4, c = 4 (relación 2: 1: 1). Esa es una secuencia para entradas y otra para salidas. Las secuencias se emparejan de acuerdo con el mismo conjunto de 16.

(Permítame recordarle que un valor de entrada [math] a [/ math], [math] b [/ math] o [math] c [/ math] representa la congruencia de [math] n + 1 [/ math] con [matemática] 0 [/ matemática] mod [matemática] 4 [/ matemática], o [matemática] n-1 [/ matemática] con [matemática] 0 [/ matemática] mod [matemática] 8 [/ matemática], o ninguno. Un valor de salida [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] o [matemática] c [/ matemática] es la operación de multiplicar [matemática] n + 1 [/ matemática] por [ matemática] 1.5 [/ matemática] o [matemática] n-1 [/ matemática] por [matemática] 0.75 [/ matemática] o [matemática] n-1 [/ matemática] por [matemática] 0.25 [/ matemática].)

Punto final: es fácil probar que la aplicación de 1.5, 1.5, 0.75 y 0.25 en cualquier orden, una operación conmutativa, a cualquier número impar se reduce a menos de 1 con un tiempo de detención cercano a la media de una secuencia de Collatz. Por lo tanto, si eliminamos el ciclismo como una posibilidad, parece que una secuencia de Collatz debe tener un tiempo de detención finito, dada la misma proporción de multiplicadores. De hecho, podemos acercar esto a determinista, basado en lo siguiente:

¿Podemos definir el número máximo de pasos consecutivos para ayb : [matemática] n + 1 \ equiv 0 \ mbox {mod} 4 [/ matemática] y [matemática] n-1 \ equiv 0 \ mbox {mod} 8 [ /matemáticas]? Fácilmente. El número de iteraciones sucesivas para uno u otro se basa en el exponente del factor primo [math] 2 [/ math] para estos números pares. Para a , [matemática] n + 1 [/ matemática] tiene un exponente mínimo de [matemática] 2 ^ 2 [/ matemática] para la multiplicación por [matemática] 1.5 [/ matemática]. Con cada producto [math] n [/ math] de [math] 1.5 [/ math], el exponente disminuye en [math] 2 [/ math]. Para b , [matemática] n-1 [/ matemática] tiene un exponente mínimo de [matemática] 2 ^ 4 [/ matemática] para la multiplicación por [matemática] 0.75 [/ matemática]. Con cada producto [math] n [/ math] de [math] 0.75 [/ math], el exponente disminuye en [math] 2 [/ math]. En cualquier caso, el exponente siempre disminuye al mínimo, y el multiplicador cambia.

Por ejemplo, de la secuencia 27:

PD: desde que escribí esto, me di cuenta de que mi argumento contra la ciclicidad era incompleto. El problema es por qué los contraejemplos de [matemáticas] 3n + x> 1 [/ matemáticas] hacen un ciclo. Solo [matemáticas] 3n + 1 [/ matemáticas] no: ¿Cómo funciona un ciclo de secuencia?