¿Cuáles son algunos ejemplos de dos enteros distintos, myn, de modo que phi (mn) no sea igual a phi (m) o phi (n)? ¿Cómo los calculo?

Answer 1

Casi todos los valores de [math] m [/ math] y [math] n [/ math] satisfarán esto.

[matemática] m = 1 [/ matemática] o [matemática] n = 1 [/ matemática] están justo afuera.

Si [math] m = 2 [/ math], y [math] n [/ math] es impar, entonces [math] \ phi (2n) = \ phi (n) [/ math] para que eso tampoco funcione . Lo mismo con [matemática] n = 2 [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática] impar.

Pero en cualquier otro caso, tenemos [math] \ phi (mn)> \ phi (n) [/ math]. ¿Por qué?

Si [math] m [/ math] y [math] n [/ math] son ​​números coprimos, esto es inmediatamente cierto porque [math] \ phi (mn) = \ phi (n) \ phi (m) [/ math] y [matemática] \ phi (m)> 1 [/ matemática] si [matemática] m> 2 [/ matemática].

Si [math] m [/ math] y [math] n [/ math] no son números coprimos, entonces [math] \ phi (mn) = mn (1 – 1 / p_1) (1- 1 / p_2) \ ldots ( 1–1 / p_k) [/ math] para los factores primos de [math] mn [/ math]. Seleccionemos los factores [matemática] q_i [/ ​​matemática] exclusivos de [matemática] m [/ matemática] (es decir, aquellos que no están en [matemática] n [/ matemática]). Entonces debemos mostrar que [matemática] L = m (1 – 1 / q_1) (1–1 / q_2) \ ldots (1–1 / q_j) [/ math] es mayor que 1. Pero esto es cierto porque [math] L> \ phi (m) [/ math ], porque nos faltan los factores [matemática] (1–1 / p_i) [/ matemática] que corresponden a primos comunes con [matemática] n [/ matemática] y [matemática] \ phi (m)> 1 [/ matemática] si [matemática] m> 2 [/ matemática]. Entonces [math] \ phi (mn) = L \ phi (n)> \ phi (n) [/ math].

Debido a que el argumento es simétrico con respecto a [math] m [/ math] y [math] n [/ math], esto también muestra [math] \ phi (mn)> \ phi (m) [/ math]. Por lo tanto, no puede ser igual a ninguna de las alternativas.

Por ejemplo, [math] \ phi (3 \ times 5) = 6 [/ math], mientras que [math] \ phi (3) = 2 [/ math] y [math] \ phi (5) = 4 [/ math ]

Answer 2

Phi se llama la función Totient de Euler, que indica cuántos números hay, que es menor que el número y relativamente primo.

Para calcular phi (n) = n * π {1–1 / pi} donde pi es el i-ésimo factor primo de ny π significa el producto de todos esos factores.

phi (mn) = phi (m) * phi (n) cuando (m, n) = 1 es decir, cuando myn son relativamente primos como 8 y 15,9 y 14, etc.

phi (8 * 15) = phi (120) = 120 * (1–1 / 2) * (1–1 / 3) * (1–1 / 5) = 32

phi (8) = 8 * (1–1 / 2) = 4

phi (15) = 15 * (1–1 / 3) * (1–1 / 5) = 8

Dichas funciones también se denominan funciones multiplicativas.

Entonces, si los dos números tienen un factor común, entonces la igualdad falla como 4 y 10

phi (4) = 4 * (1–1 / 2) = 2

phi (10) = 10 * (1–1 / 2) * (1–1 / 5) = 4

mientras que phi (40) = 40 * (1–1 / 2) * (1–1 / 5) = 16! = 8.