Supongo que pregunta acerca de las mejoras sobre el postulado de Bertrand de que siempre hay un primo entre [matemáticas] N [/ matemáticas] y [matemáticas] 2N [/ matemáticas]. Casi nada ha sido probado, pero hay muchas conjeturas basadas en evidencia numérica.
El mejor resultado demostrado es por Dusart a partir de 2016: para [math] N \ geq468991632 [/ math] siempre hay un primo entre [math] N [/ math] y [math] \ left (1+ \ frac {1 } {5000 \ left (\ log {N} \ right) ^ {2}} \ right) N [/ math]. [1] En particular, esto significa que para [matemática] N \ geq468991632 [/ matemática] siempre hay un primo entre [matemática] N [/ matemática] y [matemática] 1.000000502N [/ matemática]. Esta es una mejora significativa sobre el postulado de Bertrand, pero aún está lejos de lo que se sospecha que es la brecha principal óptima.
Aquí hay una lista incompleta de conjeturas, de débil a más fuerte. Tenga en cuenta que todo esto aún no se ha probado:
- Conjetura de Andrica: siempre hay un primo entre [matemáticas] N [/ matemáticas] y [matemáticas] N + 2 \ sqrt {N} +1 [/ matemáticas]. Lo mejor que se sabe es que hay un primo entre [matemáticas] N [/ matemáticas] y [matemáticas] N + O (N ^ {21/40}) [/ matemáticas] para grandes [matemáticas] N [/ matemáticas] . [2]
- Conjetura de Cramér (refinada por Adleman y McCurley): Por cada constante [matemática] c> 2 [/ matemática], hay una constante [matemática] d> 0 [/ matemática] tal que hay un primo entre [matemática] N [ / math] y [math] N + d (\ log {N}) ^ {c} [/ math].
- Conjetura de Shank: la conjetura de Cramer en la formulación anterior incluso es válida para [math] c = 2 [/ math], por lo que hay un primo entre [math] N [/ math] y [math] d (\ log {N}) ^ {2} [/ matemáticas]
- Conjetura de Caldwell: la conjetura de Shank incluso se cumple si [math] (\ log {N}) ^ {2} [/ math] se reemplaza por [math] \ log {N} (\ log {N} – \ log {\ log { N}}) [/ matemáticas].
- Conjetura de Firoozbakht: Para [matemática] N [/ matemática] suficientemente grande, hay un primo entre [matemática] N [/ matemática] y [matemática] N + (\ log {N}) ^ {2} – \ log {N} [/ math] (observe que no se requiere constante [math] d [/ math]).
Es probable que la conjetura de Cramer como se indicó anteriormente sea cierta (hay algunas razones teóricas que la hacen plausible). Las tres conjeturas más fuertes deben tomarse con precaución.
- Si G es un grupo en el que (a * b) ^ I = a ^ I * b ^ I para tres enteros consecutivos I para todos a, b, ¿cómo podemos demostrar que G es abeliano?
- ¿Cuál es la probabilidad de que un número entero elegido al azar de todos los números enteros posibles sea igual a otro número entero elegido al azar de todos los números enteros?
- Un estudiante notó que en una lista de cinco enteros, la media, la mediana y la moda eran enteros consecutivos en orden ascendente. ¿Cuál es el rango más grande?
- ¿Por qué no se prueba la conjetura de Collatz?
- ¿Se ha demostrado la conjetura de Collatz?
EDITAR 2017–04–06: se actualizaron algunas de las referencias y se agregó una nota sobre los resultados conocidos. También actualicé el artículo de Wikipedia sobre el postulado de Bertrand (faltaban los últimos resultados de la wiki).
Notas al pie
[1] Estimaciones explícitas de algunas funciones sobre primos
[2] La diferencia entre los primos consecutivos, II