¿Cuál es la probabilidad de que un número entero elegido al azar de todos los números enteros posibles sea igual a otro número entero elegido al azar de todos los números enteros?

Answer 1

Pareces estar sufriendo uno de los dos malentendidos comunes. Aquí hay dos hechos importantes:

(1) “Aleatorio” no significa lo mismo que “distribuido uniformemente” o “igualmente probable” . Hay infinitas distribuciones de probabilidad diferentes que podríamos poner en los enteros, y la elección de la (s) distribución (es) afectará en gran medida la respuesta a esta pregunta. Por ejemplo, podríamos usar una distribución similar a

[matemática] \ displaystyle P (n = k) = \ frac {1} {3 \ cdot 2 ^ {| k |}} [/ matemática].

(Lo dejo como un ejercicio para que el lector demuestre que esta es una distribución de probabilidad legítima).

Entonces podríamos “elegir aleatoriamente” dos números, pero, por supuesto, no todos los números serán igualmente probables; de hecho, obtenemos [matemática] n = 0 [/ matemática] un tercio del tiempo.

(2) No puede tener una distribución uniforme (igualmente probable) en los enteros. Las probabilidades de eventos disjuntos son aditivas; en particular [matemáticas] P (n = 1 \ text {o} n = 2) = P (n = 1) + P (n = 2) [/ matemáticas], y así [matemáticas] \ displaystyle 1 = P (n \ in \ mathbb {Z}) = \ sum_ {k \ in \ mathbb {Z}} P (n = k) [/ math]. Pero si [matemática] P (n = k)> 0 [/ matemática] es igual para cada [matemática] k [/ matemática], obtenemos una contradicción. Y, por supuesto, [matemáticas] P (n = k) = 0 [/ matemáticas] tampoco ayuda.

Answer 2

Cero

Para poner esto en términos más fáciles de entender … si seleccionó aleatoriamente un número entero independiente que no tiene limitaciones, la probabilidad de cualquier número entero de elección sería el recíproco de la cantidad de opciones posibles. El recíproco del infinito es cero.

El uso de dos números aleatorios da la misma probabilidad que si uno fuera estacionario. Al igual que lanzar dos dados tiene una probabilidad de 1/6 de lanzar dobles, y un solo dado lanzado también tiene la misma probabilidad de 1/6 de lanzar cualquier valor elegido que coincida con el otro dado.

Podría definir uno de esos valores aleatorios como “1”, por ejemplo, sin cambiar la posibilidad resultante de una coincidencia exitosa. Luego preguntando ” ¿cuál es la probabilidad de que un entero sin consolidar elegido al azar sea = 1?” Esto tendría la misma probabilidad de suceder.

Si limitara sus posibles valores aleatorios a 0 y 99 como opciones mínimas y máximas posibles, entonces tendría 100 opciones y 1/100 = 1% de probabilidad de una coincidencia.

Con [matemática] 1 millón [/ matemática] opciones, tiene [matemática] \ frac {1} {1 millón} [/ matemática] posibilidad de una coincidencia, que es 0.0001%.

Con las opciones [math] \ infty [/ math], tiene [math] \ frac {1} {\ infty} [/ math] posibilidad de una coincidencia, que es cero.

Podría continuar seleccionando al azar enteros no vinculados y este valor aún sería cero. Eso es lo grande que es [math] \ infty [/ math].

Answer 3

Esta pregunta está redactada de manera un tanto ambigua. Pero no lo estoy leyendo igual que otros.

Estoy viendo esto como un conjunto de todos los enteros posibles. Y usted dice: que N sea igual al tamaño del conjunto de todos los enteros, que x igual elija uno del conjunto y que e igual elija uno del conjunto. ¿Cuáles son las probabilidades de que x = y?

Del mismo modo, se podría preguntar “si le pidiera a dos personas que me dieran un número aleatorio (cualquier número entero), ¿cuáles son las probabilidades de que ambos me den el mismo número?”

La posibilidad de elegir x es 1 / N. La posibilidad de elegir y es 1 / N.

La probabilidad del mismo número es (1 / N) * (1 / N), o 1 / (N ^ 2)

A medida que N crece, tu posibilidad de igualarla nuevamente se acerca a imposible pero nunca llega a ser imposible.

Answer 4

1 en infinitas posibilidades para ambos. Entonces tienes una probabilidad de 1 / inf de sacar el primero y una probabilidad de 1 / inf de sacar ese número nuevamente. Si es un número en particular que desea, como las posibilidades de sacar 3 y luego 3 nuevamente, es una probabilidad (1 / inf) * (1 / inf). Esencialmente, es solo cero.

Answer 5

“¿Todos los números enteros posibles?” CERO oportunidad!