Si G es un grupo en el que (a * b) ^ I = a ^ I * b ^ I para tres enteros consecutivos I para todos a, b, ¿cómo podemos demostrar que G es abeliano?

Answer 1

Aprobaría este A2A por el hecho de que ha pasado mucho tiempo desde que estudié álgebra abstracta, no estoy seguro de poder producir una prueba formalmente correcta de este teorema sin más esfuerzo del que generalmente estoy dispuesto a poner en un Quora pregunta, y hay muchos mejores matemáticos por aquí que podrían manejarlo fácilmente.

Sin embargo, dado que la pregunta se ha marcado como necesitada de mejora y, por lo tanto, no se mostrará a muchas personas, diré un poco sobre lo que intentaría si intentara resolver el problema, con la advertencia de que yo No sé si este enfoque funcionará o si es un callejón sin salida.

Intuitivamente, el teorema parece algo que debería ser cierto. Veamos un caso de prueba simple: supongamos que la condición antecedente se cumple para I = 2. Expandiendo las expresiones exponenciales, lo que tenemos es abab = aabb. Estamos tratando de demostrar que el grupo es abeliano, lo que equivale a demostrar ab = ba. Pero ese resultado puede obtenerse fácilmente mediante una simple manipulación algebraica de lo que ya tenemos. Entonces, tenemos la conclusión en este caso especial mientras solo usamos un único valor I, sin siquiera tener que invocar el reclamo de tres ejemplos consecutivos.

Si intentáramos probar el teorema de los números naturales I, sería fácil a partir de aquí, proceder por inducción matemática. En el caso base, los valores I son 0, 1 y 2, y ya hemos demostrado que la conclusión se cumple en virtud del caso I = 2. (I = 0 e I = 1 no aportan nada útil). El caso inductivo debería resultar igualmente fácil; suponiendo que I> 2, parece que solo se necesitan dos instancias consecutivas para verificar que el grupo sea abeliano.

Pero no estoy seguro de cómo abordar el problema si el teorema está destinado realmente a todos los enteros I. Si está realmente perplejo, intente buscar un contraejemplo con los valores I -1, 0 y 1; Quizás la declaración del problema es un error. O quizás el teorema es correcto, y me falta algo.

Answer 2

Denotemos el grupo por G y la operación binaria en el grupo por.

Entonces, para todo a, b en G, tenemos:

(ab) ^ p-1 = a ^ p-1. b ^ p-1 …………… i

(ab) ^ p = a ^ p. b ^ p ………………. ii

(ab) ^ p + 1 = a ^ p + 1. b ^ p + 1 ………… .. iii

para algún número entero p.

Entonces tenemos :

(ab) ^ p = a ^ p. b ^ p

=> (ab) ^ p-1. (ab) = a ^ p-1. a . b ^ p-1. si

=> a ^ p-1. b ^ p-1. a . b = a ^ p-1. a . b ^ p-1. b (de i y asociatividad)

=> b ^ p-1. a = a. b ^ p-1 ………………… .. iv

Similar,

(ab) ^ p + 1 = a ^ p + 1. b ^ p + 1

=> (ab) ^ p. (ab) = a ^ p. a . b ^ p. si

=> a ^ p. b ^ p. a . b = a ^ p. a . b ^ p. b (de ii y asociatividad)

=> b ^ p. a = a. b ^ p

=> b. b ^ p-1. a = a. b ^ p

=> b. a . b ^ p-1 = a. b ^ p (de iv)

=> ba = ab

Por lo tanto, G es abeliano. 🙂

Ha pasado un tiempo desde que hice teoría de grupos y manipulaciones algebraicas. Avíseme si cometí algún error tonto y la prueba se rompe.

Answer 3

si I es el medio de los tres, multiplique [math] (ab) ^ I = a ^ Ib ^ I [/ math] por [math] (ab) ^ {- 1} = b ^ {- 1} a ^ { -1} [/ math] para mostrar que cualquier a debe conmutar con cualquier [math] b ^ {I-1} [/ math] para que la misma relación se mantenga en I-1, de manera similar, debe conmutar con cualquier [matemáticas] b ^ I [/ matemáticas] para que se mantenga en I + 1. Elija [matemática] b_1 [/ matemática] y [matemática] b_2 [/ matemática] inversa entre sí y cada a conmuta con [matemática] b_1 ^ {I-1} b_2 ^ I [/ matemática]