Una pregunta mucho mejor sería: ¿qué antecedentes matemáticos necesito para comprender la declaración de la hipótesis de Riemann, su importancia y el progreso que se ha realizado hasta la fecha?
Intentar resolver la hipótesis de Riemann es algo que haces después de dominar las respuestas a esas preguntas. No te embarques en un viaje de intentar resolverlo; Es un plan sin sentido. Embárcate en un viaje de aprendizaje de las matemáticas ( muchas ), escribiendo una tesis en teoría analítica de números (para asegurarte de que la disfrutas y tienes lo que se necesita), y luego, si de alguna manera sientes que ves una débil pista de deseo posible enfoque hacia RH, adelante.
Entonces, volvamos a nuestras tres preguntas.
Comprender la hipótesis de Riemann
- Cómo encontrar el valor de la función phi de Euler en cada uno de los siguientes enteros 256, -256, 1001, 101 y 10
- ¿Cómo crearía un matemático una función L con una hipótesis de Riemann?
- ¿Cuál es teóricamente la mayor brecha primaria posible en relación con un N y 2N dados en inglés simple, por favor?
- Si G es un grupo en el que (a * b) ^ I = a ^ I * b ^ I para tres enteros consecutivos I para todos a, b, ¿cómo podemos demostrar que G es abeliano?
- ¿Cuál es la probabilidad de que un número entero elegido al azar de todos los números enteros posibles sea igual a otro número entero elegido al azar de todos los números enteros?
La hipótesis de Riemann establece que una determinada función se convierte en cero solo en ciertos lugares. Esa función es la función zeta de Riemann, y necesitará una buena dosis de entrenamiento en matemáticas para poder definir cuál es esa función.
La función zeta de Riemann es una función meromórfica, lo que significa una función de valor complejo de una variable compleja que es analítica, excepto por ciertas singularidades aisladas (en nuestro caso, solo hay una). Lo primero que debes hacer es entender las palabras que acabo de usar. Para hacer eso, necesita pasar por un buen curso de pregrado en teoría de funciones complejas, y para hacer esto , necesitará una base sólida en el análisis real de las funciones de varias variables, así como un poco de álgebra lineal.
Tal curso de pregrado también le enseñará la idea de la continuación analítica, que es necesaria para comprender cómo se construye la función zeta. Esto confunde a mucha gente: creen que la función zeta de Riemann es simplemente
[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s} [/ matemáticas]
Sin embargo, esto le permite definir [matemática] \ zeta (s) [/ matemática] solo en una determinada región del plano (a la derecha de la línea vertical [matemática] x = 1 [/ matemática]), y eso no es la región donde se lleva a cabo la acción. Para llegar a algún lugar interesante, debe comprender el proceso de continuación analítica, seguir los pasos de Riemann y construir una fórmula explícita para [math] \ zeta (s) [/ math] que funcione en todo el plano. Debe saber que esta fórmula explícita es significativamente menos amigable que la simple suma infinita [matemáticas] \ sum \ frac {1} {n ^ s} [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ frac {\ Gamma (1-s)} {2 \ pi i} \ oint _ {+ \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {(- x) ^ s } {e ^ x-1} \ frac {dx} {x} [/ math]
donde la integral representa una integral de contorno a lo largo de un camino que comienza en el infinito positivo (real), bajando el eje real, rodeando el origen una vez en sentido antihorario y luego volviendo a subir a lo largo del eje real hasta el infinito (entonces sí, los límites de la integral son ambos [math] + \ infty [/ math]). Esta es la fórmula más o menos como Riemann la escribió; Puede tomar muchas otras formas, incluida la famosa ecuación funcional, pero ninguna de ellas es “elemental”.
Todo lo que hicimos hasta ahora fue definir al protagonista de nuestra investigación, la función zeta. La hipótesis de Riemann ahora se puede establecer de la siguiente manera: las únicas soluciones de [matemáticas] \ zeta (s) = 0 [/ matemáticas] donde [matemáticas] \ Re (s) \ geq 0 [/ matemáticas] tienen [matemáticas] \ Re (s) = \ frac {1} {2} [/ math]. Todas las raíces “no triviales” se encuentran en la “línea crítica”.
El significado de RH
En teoría, puede comenzar a intentar probar la afirmación que acabamos de hacer. En la práctica, esto es una locura. Sin una comprensión de las conexiones entre la función zeta y los números primos, no solo está operando con total ignorancia del contexto, sino que también se está privando de una gran cantidad de maquinaria necesaria para estudiar y comprender el comportamiento de la función zeta en sí.
Aquí es donde debe pasar de la teoría de funciones complejas a la teoría de números real, específicamente la teoría de números analítica. Este es el estudio de los fenómenos de los números naturales utilizando herramientas de análisis, y es uno de los puntos principales asumidos por Riemann en su fenomenal artículo de 1859.
Por lo que puedo decir, la teoría analítica de números rara vez se enseña en los planes de estudio de matemáticas de pregrado. La razón es bastante simple: es un tema “secundario”, que requiere el dominio del análisis real, el análisis complejo y la teoría de los números elementales, cosas que generalmente se estudian en la universidad.
Ponerse al día con el presente
Todo hasta ahora fue la parte fácil. La declaración y la importancia de RH se pueden aprender en cursos estándar de pregrado y posgrado, y en una variedad de libros sobre teoría analítica de números (por ejemplo, “Introducción a la teoría analítica de números” de Apostol). Para ir más allá de eso, debes saber qué descubrieron los que vinieron antes que tú sobre la función zeta. Esto es alrededor de 150 años de matemática moderna (para ser justos, no ha sucedido mucho antes de 1890, por lo que podemos llamar a esto 127 años de matemática moderna). Un buen punto de partida es la “función zeta de Riemann” de Edwards, que lo guiará a través de algunas de las ideas principales hasta 1940 más o menos.
Tendrás que estudiar el trabajo de Hadamard y de la Vallée Poussin que culminó con la prueba del teorema del número primo. Tendrá que dominar las técnicas desarrolladas por Hardy y Littlewood para abordar los problemas de la teoría analítica de números. Probablemente necesitará estudiar los innumerables análogos de RH, algunos de los cuales se han convertido en teoremas probados, lo que significa que aprenderá sobre las funciones L y sus profundas conexiones con la teoría de la representación. Y esto es, sinceramente, solo el comienzo.
Nadie puede predecir exactamente lo que tiene que estudiar, ya que nadie sabe cómo es una eventual prueba de HR. Pero embarcarse en intentar demostrarlo usted mismo sin aprender al menos un hilo profundo de técnicas hacia una prueba es prepararse para el fracaso.
Esto no es un problema para los aficionados. Simplemente no lo es. Conviértase en un matemático profesional y puede encontrar una manera de abrir nuevos caminos en el estudio de la función zeta. No hay atajos.
