Si puede determinar fácilmente si 105 es un residuo cuadrático mod 1009, entonces la respuesta será 1 si lo es, o -1 si no lo es. Probar los 1009 valores y cuadrarlos te dirá cuál es.
La definición de origen de Legendre es
[matemática] \ displaystyle \ left (\ frac {105} {1009} \ right) = 105 ^ {(1009 – 1) / 2} \ pmod {1009} [/ math]
lo que da un segundo método que es mucho menos trabajo, computacionalmente hablando (podemos exponer mediante escuadra repetida).
- ¿Cuáles son algunos ejemplos de dos enteros distintos, myn, de modo que phi (mn) no sea igual a phi (m) o phi (n)? ¿Cómo los calculo?
- ¿Qué debo saber para intentar resolver la hipótesis de Riemann?
- Cómo encontrar el valor de la función phi de Euler en cada uno de los siguientes enteros 256, -256, 1001, 101 y 10
- ¿Cómo crearía un matemático una función L con una hipótesis de Riemann?
- ¿Cuál es teóricamente la mayor brecha primaria posible en relación con un N y 2N dados en inglés simple, por favor?
Otra opción, porque el símbolo de Legendre es una función multiplicativa, es
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {105} {1009} \ right) = \ left (\ frac {3} {1009} \ right) \ left (\ frac {5} {1009} \ right) \ left (\ frac {7} {1009} \ right) [/ math]
Si los dos números en el símbolo de Legendre son primos, entonces podemos usar la ley de reciprocidad cuadrática. Si bien 105 no es primo, 1009 sí lo es, por lo que podemos calcular tres casos fáciles utilizando la reciprocidad cuadrática:
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {3} {1009} \ right) \ left (\ frac {1009} {3} \ right) = (-1) ^ {(1009-1) (3-1) / 4} = (-1) ^ {(1008) (2) / 4} = (-1) ^ {504} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {5} {1009} \ right) \ left (\ frac {1009} {5} \ right) = (-1) ^ {(1009-1) (5-1) / 4} = (-1) ^ {1008} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {7} {1009} \ right) \ left (\ frac {1009} {7} \ right) = (-1) ^ {(1009-1) (7-1) / 4} = (-1) ^ {(1008) (6) / 4} = (-1) ^ {(504) (3)} = 1 [/ matemáticas]
Así, en los tres casos, los símbolos tienen el mismo signo. Ahora, [matemática] 1009 \ equiv 1 \ pmod {3} [/ matemática], entonces es un residuo cuadrátrico mod 3. [matemática] 1009 \ equiv 4 \ equiv 2 ^ 2 \ pmod {5} [/ matemática], también un residuo cuadrático Y finalmente [matemáticas] 1009 \ equiv 1 \ pmod {7} [/ matemáticas].
Por lo tanto,
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {105} {1009} \ right) = \ left (\ frac {3} {1009} \ right) \ left (\ frac {5} {1009} \ right) \ left (\ frac {7} {1009} \ right) = \ left (\ frac {1009} {3} \ right) \ left (\ frac {1009} {5} \ right) \ left (\ frac {1009} { 7} \ right) = 1 \ times 1 \ times 1 = 1 [/ math]