(En la misma línea que en ¿Cómo explicaría por qué 0 + 1-2 + 3-4 … equivale a ¼ a un alumno de noveno grado?)
El sentido en el que 1 + 2 + 3 + 4 +… = -1/12 es este:
Primero, considere X = 1 – 1 + 1 – 1 +…. Tenga en cuenta que X + (X desplazado en una posición) = 1 + 0 + 0 + 0 +… = 1. Por lo tanto, en cierto sentido, X + X = 1, y así, en cierto sentido, X = 1/2.
Ahora considere Y = 1 – 2 + 3 – 4 +…. Tenga en cuenta que Y + (Y desplazado en una posición) = 1 – 1 + 1 – 1 +… = X. Por lo tanto, en algún sentido, Y + Y = X, y así, en algún sentido, Y = X / 2 = 1/4.
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Finalmente, considere Z = 1 + 2 + 3 + 4 + … Tenga en cuenta que Z – Y = 0 + 4 + 0 + 8 + … = (ceros intercalados con 4 * Z). Así, en cierto sentido, Z – Y = 4Z, y así, en cierto sentido, Z = -Y / 3 = -1/12.
En contextos donde el razonamiento anterior es aplicable a lo que uno quiere llamar suma, tenemos que 1 + 2 + 3 + 4 +… = -1/12. En otros contextos, no lo hacemos.
Eso es. Es así de simple. Todo lo demás que voy a decir es solo para consolar a quienes se sienten incómodos con el juego que acabamos de jugar.
Tenga en cuenta que he dicho “en algún sentido” varias veces en el argumento anterior. Esto se debe a que, si bien todos sabemos cómo sumar y restar una colección finita de números de la manera ordinaria, cuando se trata de sumar y restar una serie infinita de números, hay muchas formas diferentes de interpretar lo que esto debería significar. El solo hecho de sumar muchos números no nos dice automáticamente qué significa agregar una serie infinita de ellos. Y cuando se trata de la suma de series infinitas, resulta que no hay una sola noción agradable de “suma”; Hay muchos diferentes, que son agradables para diferentes propósitos.
Una de esas nociones es “Sigue sumando cosas, una por una, comenzando desde el frente, y mira si los resultados se acercan cada vez más a algún valor en particular; de ser así, ese valor es la suma”. En esa cuenta de lo que significa la suma, claramente no obtendrá ninguna respuesta finita para 1 + 2 + 3 + 4 + …; Como los términos nunca se vuelven más pequeños, las sumas parciales nunca se establecerán en un valor finito (¡y ciertamente no en uno negativo como -1/12!). En cambio, en un sentido natural, deben entenderse como sumando al infinito positivo.
¡Y no hay nada de malo en esto! No te equivocas al sentir que 1 + 2 + 3 + 4 + … es positivo e infinito, y las matemáticas no lo niegan; absolutamente hay una cuenta de suma correspondiente a esta intuición.
Simplemente no es la única cuenta de suma que vale la pena pensar.
En cambio, podríamos considerar otras nociones de “suma”, incluidas las diseñadas precisamente para que argumentos como el que hicimos al principio (¡que son argumentos muy naturales para hacer!) Contaban como formas legítimas de razonar sobre tal “suma”. Y luego, por definición, tendremos que 1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12, en tales cuentas de “suma”.
(Al hacerlo, perderemos ciertas propiedades familiares como “Una suma de términos positivos siempre es positiva”. Pero así es como funcionan las generalizaciones; las generalizaciones a menudo pierden propiedades familiares. Incluso el libro de texto, la cuenta basada en límites de suma infinita pierde propiedades familiares como “El orden de la suma no importa”. Incluso la sumatoria de números enteros pierde la propiedad familiar “Si una suma es cero, también lo son todos los sumandos” del conteo básico. Pero hay una red de semejanzas con las más familiares tipos de resumen que pueden justificar, en ciertos estados de ánimo, pensar en cada una de estas generalizaciones como una forma de resumen en sí).
Si insiste en que “seguir sumando cosas y ver si los resultados se acercan cada vez más a algún valor en particular” es la única explicación de la suma que le interesa, objetará el argumento que dimos al principio, diciendo ” No se le permite hacer ese tipo de cambio y agregarse a sí mismo razonamiento de todos modos, ¡mire qué tonterías produce! “.
Pero puede tener sentido e incluso es fructífero tener sentido en ciertos contextos de las matemáticas, y no hay necesidad de cegarnos a esta idea.
De nuevo, eso es todo. Es así de simple. Todo lo demás que voy a decir es solo para consolar a aquellos que todavía están incómodos. Para aquellos que desean una explicación más sistemática y formal de la suma de series de un tipo que valida la manipulación anterior, siga leyendo:
Podemos verlo de esta manera: podemos tratar de asignar valores a una serie no absolutamente convergente poniendo sus términos en una fuerza inferior a la plena, produciendo una serie absolutamente convergente y luego aumentando las fuerzas de los términos hacia la fuerza completa en el límite, observando también qué sucede con la suma en el límite.
Esta es la idea detrás de la cuenta tradicional de suma de series, tenga en cuenta: en el momento T, incorporamos todos los términos de índice <T con una fuerza del 100% y todos los demás términos con una fuerza del 0%. Esto nos da nuestras sumas parciales, y cuando T llega al infinito, la fuerza de cada término llega al 100%, por lo que podemos considerar las sumas parciales como aproximadas a la suma total.
Pero no tenemos que ser tan discretos como para usar solo el 100% de fuerza y el 0% de fuerza. Podemos intentar incorporar términos más gradualmente. Por ejemplo, en lugar de que las fuerzas disminuyan discretamente del 100% al 0% en algún punto de corte, podemos hacer que las fuerzas decaigan exponencialmente en el índice. (Entonces, en un momento, podemos tener el primer término con una fuerza del 100%, el siguiente término con una fuerza del 50%, el siguiente término con una fuerza del 25%, etc.). Luego consideramos lo que sucede cuando la tasa de disminución exponencial disminuye, acercándose a ninguna disminución.
En símbolos, esto significa que asignamos a una serie [matemática] a_0 + a_1 + a_2… [/ matemática] el límite, a medida que [matemática] b [/ matemática] se acerca [matemática] 1 [/ matemática] desde abajo, de [matemática ] a_0b ^ 0 + a_1b ^ 1 + a_2b ^ 2 +… [/ math]. Dicho de otra manera, el límite, ya que [matemáticas] h [/ matemáticas] va a [matemáticas] 0 [/ matemáticas] desde arriba, de [matemáticas] a_0e ^ {- 0h} + a_1e ^ {- 1h} + a_2e ^ { -2h} +… [/ math], donde [math] e [/ math] es cualquier base fija que te guste. (Tomemos [math] e [/ math] como la base del logaritmo natural por conveniencia, y llamemos a esta función de [math] h [/ math] la función característica de la serie).
Nuevamente, esto no es tan diferente de la cuenta tradicional de la suma de series; solo estamos usando decaimiento exponencial en lugar de un corte brusco en nuestras aproximaciones amortiguadas a la serie completa. (En realidad, para los resultados que nos interesan, lo que realmente interesa es la suavidad de la descomposición. También podríamos usar otras formas de descomposición uniforme y obtener los mismos resultados, pero la descomposición exponencial es muy conveniente, gané No te molestes en debatir en ninguna otra generalidad en este momento)
Ahora hemos convertido la cuestión de determinar el valor de una suma de series en la cuestión de determinar el comportamiento limitante de alguna función en 0.
Bueno, es fácil determinar el comportamiento limitante en 0. Simplemente escriba una serie de Taylor centrada en 0, y elimine todos los términos de grado positivo, dejando solo el término de grado 0. Boom, tiene el valor de la función en 0.
Excepto … supongamos que la serie Taylor también tiene algunos términos de grado negativo. (Como en, digamos, [matemáticas] 5h ^ {- 1} + 3 + 4h ^ 2 [/ matemáticas]). Entonces el comportamiento en 0 no está dado por el término de grado 0; más bien, ¡el comportamiento en 0 es volar hasta el infinito!
Y, de hecho, descubriremos que esto es precisamente lo que sucede cuando observamos la función característica de una serie como 0 + 1 + 2 + 3 + …; obtenemos que [matemáticas] f (h) = 0e ^ {- 0h} + 1e ^ {- 1h} + 2e ^ {- 2h} + 3e ^ {- 3h} +… [/ matemáticas] [matemáticas] = e ^ {-h} / (1 – e ^ {- h}) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = h ^ {- 2} – 1/12 + h ^ 2/240 – h ^ 4/6048 +… [ /matemáticas].
Tenga en cuenta que hay un término de grado negativo allí. Entonces, en un sentido muy familiar, podemos decir que el comportamiento de esta serie es explotar hasta el infinito.
Sin embargo, dado que cada vez que una serie converge en el sentido ordinario, el valor al que converge es el término de grado 0 de esta función característica, es muy tentador y fructífero pensar en el término de grado 0 como la suma, incluso cuando existen esos términos molestos de grado negativo.
Y en este sentido más general, vemos que el valor de 0 + 1 + 2 + 3 + … es ese grado 0 término de f (h): -1/12. [De hecho, podemos entender que el argumento al comienzo de esta publicación describe un cálculo riguroso de este término de grado 0. (Ver https://www.quora.com/Whats-the-… para ver esto en detalle)]
Ahora, puede proponer otras manipulaciones para producir otras respuestas para esta serie de otras maneras, pero esta es una cuenta sistemática particular de suma que conduce a este valor solo y no a otro. [Es decir, para la serie cuyo enésimo término es n. Debo advertir que, en presencia de términos de grados negativos en la función característica, este método es sensible al cambio de índice, por lo que obtendríamos resultados diferentes si, por ejemplo, consideramos que 1, 2, 3, … no son 1º, 2º, 3º,…, términos, sino más bien el 0º, 1º, 2º,…, términos, respectivamente.]
¿Por qué debería importarle esta cuenta particular de sumatoria? Bueno, no tienes que hacerlo; No puedo obligarte a preocuparte por nada. Pero es bastante natural y tiene cierta importancia en las matemáticas. Es, en cierto sentido formal, precisamente el relato de la suma que permite interpretar la suma [matemática] 1 ^ n + 2 ^ n + 3 ^ n + … [/ matemática] para el complejo general [matemática] n [/ matemáticas], produciendo la función zeta de Riemann (de gran importancia en la teoría de números, y cuyo comportamiento (específicamente, la hipótesis de Riemann sobre sus ceros) generalmente se considera uno de los problemas abiertos más importantes en matemáticas). Entonces, ya sabes, hay razones para que algunas personas se preocupen por eso, incluso si no lo haces.
