Cómo demostrar por inducción matemática que si n es un entero positivo impar, entonces a + b | a ^ n + b ^ n

Answer 1

Para [math] a, b \ in \ mathbb Z [/ math] y [math] n = 2m + 1 [/ math] un número entero positivo y extraño , debemos demostrar que

[matemáticas] (a + b) \ mid (a ^ {2m + 1} + b ^ {2m + 1}) \ ldots (\ star) [/ math]

por inducción matemática .

El caso [matemática] m = 0 [/ matemática] es obvio, y [matemática] a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) [/ matemática] muestra que eqn . [math] (\ star) [/ math] se mantiene para [math] m = 1 [/ math] también. Estos dos forman el caso base.

La identidad

[matemáticas] a ^ {2m + 3} + b ^ {2m + 3} = (a ^ 2 + b ^ 2) (a ^ {2m + 1} + b ^ {2m + 1}) – a ^ 2b ^ 2 (a ^ {2m-1} + b ^ {2m-1}) [/ matemáticas]

muestra que si [matemática] a + b [/ matemática] divide tanto [matemática] a ^ {2m-1} + b ^ {2m-1} [/ matemática] como [matemática] a ^ {2m + 1} + b ^ {2m + 1} [/ matemática], también dividiría [matemática] a ^ {2m + 3} + b ^ {2m + 3} [/ matemática]. Esto completa la prueba por inducción matemática . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

¿Quieres decir que [matemáticas] \ frac {a ^ n + b ^ n} {a + b} [/ matemáticas] es un número entero?

Tenemos [matemáticas] a ^ n + b ^ n = (a + b) (a ^ {n – 1} + a ^ {n – 2} \ cdot b + a ^ {n – 2} \ cdot b ^ 2 +… + B ^ {n – 1}) [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ frac {a ^ n + b ^ n} {a + b} = \ frac {(a + b) (a ^ {n – 1} + a ^ {n – 2} \ cdot b + a ^ {n – 2} \ cdot b ^ 2 +… + b ^ {n – 1})} {a + b} = a ^ {n – 1} + a ^ {n – 2} \ cdot b + a ^ {n – 2} \ cdot b ^ 2 +… + b ^ {n – 1} [/ matemática]

Este es el fin.

Esa es una cosa que debes aprender en la escuela. Esa ecuación