Cómo mostrar que 7 divide (n ^ 6-1), n> 1

Answer 1

Esencialmente, esta afirmación es equivalente al pequeño teorema de Fermat, si [math] n [/ math] no es divisible por [math] 7 [/ math]. Pero calculemos esto sin referirnos a Fermat usando alguna aritmética modular.

El producto de siete enteros subsiguientes es seguramente divisible por [math] 7 [/ math]. Entonces

[matemáticas] \ prod \ limits_ {i = 0} ^ 6 (n + i) \ equiv 0 \ mod 7 [/ matemáticas]

Ahora suponga [math] 7 \ nmid n [/ math]. Entonces uno de los factores [matemática] n + i, 1 \ le i \ le 6 [/ matemática] debe ser divisible por [matemática] 7 [/ matemática] ya que este es un número primo. Agrupemos factores

[matemáticas] (n + 1) (n + 6) = n ^ 2 + 7n + 6 \ equiv n ^ 2 + 6 \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] (n + 2) (n + 5) = n ^ 2 + 7n + 10 \ equiv n ^ 2 + 10 \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] (n + 3) (n + 4) = n ^ 2 + 7n + 12 \ equiv n ^ 2 + 12 \ mod 7 [/ matemáticas]

Y además

[matemáticas] (n ^ 2 + 6) (n ^ 2 + 10) = n ^ 4 + 16n ^ 2 + 60 \ equiv n ^ 4 + 2n ^ 2 + 4 \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] (n ^ 4 + 2n ^ 2 + 4) (n ^ 2 + 12) = n ^ 6 + 14n ^ 4 + 28n ^ 2 + 48 \ equiv n ^ 6-1 \ mod 7 [/ matemáticas]

Debido a lo anterior obtenemos

[matemática] \ prod \ limits_ {i = 0} ^ 6 (n + i) \ equiv n (n ^ 6-1) \ equiv 0 \ mod 7 [/ matemática]

Entonces, [matemática] n [/ matemática] o [matemática] x ^ 6–1 [/ matemática] debe ser divisible por [matemática] 7 [/ matemática].

Answer 2

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} n ^ 6-1 & = (n ^ 2) ^ 3-1 ^ 3 \\ & = (n ^ 2-1) (n ^ 4 + n ^ 2 + 1) \\ & = (n-1) (n + 1) ((n ^ 2 + 1) ^ 2-n ^ 2) \\ & = (n-1) (n + 1) (n ^ 2 + n + 1) (n ^ 2-n + 1) \ end {split} \ end {ecation} [/ math]

• Entre los factores [matemática] 4 [/ matemática] tenemos un producto de dos números naturales consecutivos, por lo tanto, este número es divisible por [matemática] 2 [/ matemática].
• Observe que [matemáticas] n ^ 2 + n + 1, n ^ 2-n + 1 [/ matemáticas] son ​​irreductibles en [matemáticas] \ Q [/ matemáticas] (Aplicando el Criterio de Irreducibilidad de Eisenstein). Esto también significa que no podemos escribirlos como [matemática] n ^ 2 + n + 1 = 7m, n ^ 2-n + 1 = 7k [/ matemática] donde [matemática] m, k \ in \ Z [/ matemática] respectivamente.

Entonces, [math] 7 \ nmid n ^ 6–1 \ forall n> 1, n \ in \ N \ tag * {} [/ math]

Solo intenta encontrar un contraejemplo.

---

Con la ayuda del pequeño teorema de Fermat, podemos mostrar que

[matemáticas] 7 ^ 6 \ equiv 1 \ mod 7 \ implica 7 ^ 6-1 \ equiv 0 \ mod 7 \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] 7 ^ 7 \ equiv 7 \ mod 7 \ equiv 0 \ mod 7 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 7 ^ 7–1 \ equiv 6 \ mod 7 \ tag * {} [/ matemáticas]

Ahora consideremos que [matemáticas] n = 7k, k \ in \ Z [/ matemáticas]

y sabemos que esto es obviamente divisible por [matemáticas] 7 [/ matemáticas]

Aplicando el pequeño teorema de Fermat, tenemos

[matemáticas] ((7k) ^ 6-1) \ mod 7 \\ (7k) ^ 6 \ mod 7-1 \ mod 7 \\ 0-1 \ mod7 \\\ en caja {-1} \ mod7 \ text { o} \ boxed {6} \ mod7 \ tag * {} [/ math]

---

Por lo tanto, cualquier múltiplo de [math] 7 [/ math] podría ser el contraejemplo.

Answer 3

Aplicando el pequeño teorema del famoso Fermat, puedo afirmar que

[matemática] \ forall n \ in \ N ^ *, n ^ 7 \ equiv n \ \ (\ mod 7 \ \). [/ math]

Pero solo en el caso donde [math] n [/ math] no es divisible por [math] 7 [/ math], también puedo afirmar basado en FLT que

[matemáticas] n ^ 6 \ equiv 1 \ \ (\ mod 7 \ \) [/ matemáticas]

entonces, en esos casos, [matemáticas] n ^ 6 \ – \ 1 [/ matemáticas] es obviamente divisible por [matemáticas] 7 [/ matemáticas].

Pero cuando [matemática] n [/ matemática] es divisible por [matemática] 7 [/ matemática], entonces [matemática] n ^ 6 [/ matemática] es divisible por [matemática] 7 [/ matemática] también y desde dos consecutivos los enteros no pueden compartir un divisor primo común, [matemática] n ^ 6 \ – \ 1 [/ matemática] claramente no es divisible por [matemática] 7 [/ matemática].

En general, [matemática] 7 [/ matemática] divide [matemática] n ^ 6 \ – \ 1 [/ matemática] si y solo si [matemática] n [/ matemática] no es divisible por [matemática] 7 [/ matemáticas].

Answer 4

Entonces, esto obviamente no es cierto si [math] \ existe k \ in \ mathbb N, n = 7k [/ math]

Porque entonces

[matemáticas] n ^ 6-1 = 7 ^ 6k ^ 6-1 [/ matemáticas]

Y

[matemáticas] n ^ 6-1 \ bmod 7 = 7 ^ 6k – 1 \ bmod 7 = -1 \ bmod 7 = 6 [/ matemáticas]

Pero, ¿qué pasa si [matemáticas] n \ bmod 7 \ ne 0 [/ matemáticas]?

Entonces

[matemáticas] \ begin {align} n ^ 6-1 \ bmod 7 & = n ^ 6 \ bmod 7 – 1 \ bmod 7 \ bmod 7 \\ & = (n \ bmod 7) ^ 6 \ bmod 7 -1 \ bmod 7 \\ & = ((n \ bmod 7) ^ 2 \ bmod 7) ^ 3 \ bmod 7 – 1 \ bmod 7 \ end {align} [/ math]

Ahora tenga en cuenta que

[matemáticas] (6 \ bmod 7) ^ 2 \ bmod 7 = (-1 \ bmod 7) ^ 2 \ bmod 7 = (-1) ^ 2 \ bmod 7 = 1 = (1 \ bmod 7) ^ 2 \ bmod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] (5 \ bmod 7) ^ 2 \ bmod 7 = (-2 \ bmod 7) ^ 2 \ bmod 7 = (-2) ^ 2 \ bmod 7 = 4 = (2 \ bmod 7) ^ 2 \ bmod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] (4 \ bmod 7) ^ 2 \ bmod 7 = (-3 \ bmod 7) ^ 2 \ bmod 7 = (-3) ^ 2 \ bmod 7 = 9 \ bmod 7 = 2 = (3 \ bmod 7 ) ^ 2 \ bmod 7 [/ math]

Entonces solo tenemos que considerar

[matemáticas] 1 ^ 3 \ bmod 7 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ 3 \ bmod 7 = 64 \ bmod 7 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 3 \ bmod 7 = 8 \ bmod 7 = 1 [/ matemáticas]

Y podemos concluir que, si [math] n \ bmod 7 \ ne 0 [/ math]

[matemáticas] n ^ 6 \ bmod 7 = 1 [/ matemáticas]

Y, como conclusión

[matemáticas] n ^ 6-1 \ bmod 7 = 0 [/ matemáticas]

O, en otras palabras,

[matemáticas] \ existe k \ en \ mathbb N, n ^ 6-1 = 7k [/ matemáticas]

Pero, una vez más, solo para enteros que no son múltiplos de [math] 7 [/ math].

Answer 5

He cocinado una especie de prueba. Prueba por inducción.

Proposición:

si [matemáticas] n ^ 6–1 [/ matemáticas] es un múltiplo de 7, [matemáticas] (n + 7) ^ 6–1 [/ matemáticas] es un múltiplo de 7.

prueba: [matemáticas] (n + 7) ^ 6 = n ^ 6 + 6 * 7 n ^ 5 + 15 * 7 ^ 2 n ^ 4 + 20 * 7 ^ 3 n ^ 3 + 15 * 7 ^ 4 [/ matemáticas ]

[matemáticas] n ^ 2 + 6 * 7 ^ 5n + 7 ^ 6 [/ matemáticas]

Todos los términos excepto el primero contienen 7

Por lo tanto, si [matemática] n ^ 6–1 [/ matemática] es divisible por 7, ([matemática] n + 7) ^ 6–1 [/ matemática] también es divisible por 7.

n = 1 [matemáticas] n ^ 6-1 = 0 [/ matemáticas] divisible por 7

n = 2 [matemáticas] n ^ 6-1 = 63 [/ matemáticas] divisible por 7

n = 3 [matemática] n ^ 6-1 = 728 [/ matemática] divisible por 7

n = 4 [matemática] n ^ 6-1 = 4095 [/ matemática] divisible por 7

n = 5 [matemáticas] n ^ 6-1 = 15624 [/ matemáticas] divisible por 7

n = 6 [matemáticas] n ^ 6-1 = 46655 [/ matemáticas] divisible por 7

n = 7 [matemática] n ^ 6-1 = 117648 [/ matemática] no divisible por 7

n = 8 [matemáticas] n ^ 6-1 = 262143 [/ matemáticas] divisible por 7

Se deduce que dado que [matemática] 1 ^ 6–1 [/ matemática] es divisible [matemática] 8 ^ 6–1 [/ matemática] también es divisible por 7, etc., excepto cuando n es un múltiplo de 7.

Answer 6

No puedo.

SI NO ES VERDAD para todos n> 1, como 7,17,27,37 ………

Answer 7

Usando el principio de inducción matemática

Answer 8

Usted no Aviso

[matemáticas] \ frac {7 ^ 6–1} {7} \ aprox 16806.857 [/ matemáticas]

Answer 9

La nota 7 no divide 7 ^ 6–1.