Esta es una propiedad de divisibilidad para el coeficiente trinomial central. Esto significa que
[matemáticas] \ left (\ begin {matrix} p \\ 0 \ end {matrix} \ right) _ {2} = kp + 1 [/ math] para algún número entero [math] k [/ math].
La prueba se da en el teorema 8.7 de noe35 (vinculado desde el artículo de mathworld). Pero esa prueba deja de lado muchos detalles y es innecesariamente general. Probé una versión más detallada que ni siquiera necesita el pequeño teorema de Fermat:
Sea [math] T_ {n} [/ math] el coeficiente trinomial central, el coeficiente de [math] x ^ {n} [/ math] en la expresión [math] (1 + x + x ^ {2}) ^ {n} [/ matemáticas]. Podemos usar el teorema binomial dos veces para obtener
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[matemáticas] (1 + x + x ^ {2}) ^ {n} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ left (\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix} \ right) (x + x ^ {2}) ^ {nk} [/ matemáticas]
[math] = \ sum_ {k = 0} ^ {n} [/ math] [math] \ sum_ {j = 0} ^ {nk} \ left (\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix} \ right) [/ math] [math] \ left (\ begin {matrix} nk \\ j \ end {matrix} \ right) [/ math] [math] x ^ {n-k + j} [/ math]
Estamos interesados en el coeficiente de [matemáticas] x ^ {n} [/ matemáticas], entonces [matemáticas] k = j [/ matemáticas]:
[matemática] T_ {n} = \ sum_ {k = 0} ^ {n} [/ matemática] [matemática] \ left (\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix} \ right) [/ math] [matemáticas] \ left (\ begin {matrix} nk \\ k \ end {matrix} \ right) [/ math]
Dado que [matemáticas] \ left (\ begin {matrix} nk \\ k \ end {matrix} \ right) = \ left (\ begin {matrix} nk \\ n-2k \ end {matrix} \ right) [/ math ] (esa es la simetría del coeficiente binomial), esto es igual a
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ left (\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix} \ right) [/ math] [matemáticas] \ left (\ begin {matrix} nk \\ n-2k \ end {matrix} \ right) [/ math].
Ahora necesitamos la identidad [matemáticas] \ left (\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix} \ right) [/ math] [matemáticas] \ left (\ begin {matrix} nk \\ n-2k \ end {matrix} \ right) = \ left (\ begin {matrix} 2k \\ k \ end {matrix} \ right) [/ math] [math] \ left (\ begin {matrix} n \\ 2k \ end { matriz} \ right) [/ math]. Es fácil de probar:
El lado izquierdo es igual a
[matemática] \ left (\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix} \ right) \ left (\ begin {matrix} nk \\ n-2k \ end {matrix} \ right) = \ left (\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix} \ right) \ left (\ begin {matrix} nk \\ k \ end {matrix} \ right) = \ frac {n!} {k! (nk)! } \ frac {(nk)!} {(n-2k)! k!} = \ frac {n!} {(k!) ^ {2} (n-2k)!} [/ math],
el lado derecho es igual a
[matemáticas] \ left (\ begin {matrix} 2k \\ k \ end {matrix} \ right) \ left (\ begin {matrix} n \\ 2k \ end {matrix} \ right) = \ frac {(2k) !} {(k!) ^ {2}} \ frac {n!} {(2k)! (n-2k)!} = \ frac {n!} {(k!) ^ {2} (n-2k )!}[/matemáticas].
Los dos son idénticos. Para que podamos escribir
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ left (\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix} \ right) [/ math] [matemáticas] \ left (\ begin {matrix} nk \\ n-2k \ end {matrix} \ right) [/ math]
[math] = \ sum_ {k = 0} ^ {n} [/ math] [math] \ left (\ begin {matrix} 2k \\ k \ end {matrix} \ right) [/ math] [math] \ left (\ begin {matrix} n \\ 2k \ end {matrix} \ right) [/ math].
Estamos interesados en este módulo [math] n [/ math]. Darse cuenta de
[matemáticas] \ left (\ begin {matrix} n \\ 2k \ end {matrix} \ right) [/ math] [math] = n \ frac {(n-1)!} {(2k)! (n- 2k)!} [/ Matemáticas]
es divisible por [matemática] n [/ matemática] si [matemática] k> 0 [/ matemática]. Entonces
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ left (\ begin {matrix} 2k \\ k \ end {matrix} \ right) [/ math] [matemáticas] \ left (\ begin {matrix} n \\ 2k \ end {matriz} \ derecha) [/ matemática] [matemática] \ mod n \ equiv [/ matemática] [matemática] \ izquierda (\ begin {matriz} n \\ 0 \ end {matriz} \ derecha) [/ math] [math] \ mod n \ equiv 1 \ mod n [/ math].
Establecer [matemáticas] n = p [/ matemáticas] prueba la ecuación. Tenga en cuenta que no requiere que [math] n [/ math] sea primo! No sé por qué Mathworld da la condición de que [Math] p [/ Math] debe ser primo (la fuente solo necesita esta condición en un caso mucho más general, vea el enlace de arriba).
EDITAR: error de formato corregido.