Buscamos soluciones [math] a, b \ in \ mathbb Z [/ math], y podemos suponer [math] a \ ge b [/ math].
Si [math] b = 0 [/ math], entonces [math] a ^ 2 [/ math] es un cuadrado para todos [math] a [/ math] y [math] 3a [/ math] es un cuadrado si y solo si [math] a = 3c ^ 2 [/ math] con [math] c \ in \ mathbb Z [/ math].
Por lo tanto, todas las soluciones en este caso están dadas por [math] (a, b) = (3c ^ 2,0) [/ math], [math] c \ in \ mathbb Z [/ math].
Suponga que [math] b> 0; [/ math] luego [math] a> 0 [/ math]. Escriba [matemáticas] a ^ 2 + 3b = (a + r) ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ 2 + 3a = (b + s) ^ 2 [/ matemáticas]. Esto da
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[matemáticas] 3a = 2bs + s ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3b = 2ar + r ^ 2 [/ matemáticas].
Eliminando [math] b [/ math] de la primera ecuación, tenemos
[matemáticas] 9a = 2s (2ar + r ^ 2) + 3s ^ 2 = 4ars + 2r ^ 2s + 3s ^ 2 [/ matemáticas].
Por lo tanto, [math] a = \ dfrac {2r ^ 2s + 3s ^ 2} {9–4rs} \ ldots (1) [/ math]
Eliminar [matemáticas] a [/ matemáticas] de la segunda ecuación de manera similar da
[matemáticas] b = \ dfrac {2rs ^ 2 + 3r ^ 2} {9–4rs} \ ldots (2) [/ math]
Dado que [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] r [/ matemáticas], [matemáticas] s [/ matemáticas] son todas [matemáticas]> 0 [/ matemáticas], [matemáticas ] rs = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Si [math] rs = 1 [/ math], tenemos [math] a = b = 1 [/ math]. Si [matemática] rs = 2 [/ matemática], entonces [matemática] (a, b) = (16,11) [/ matemática].
Las únicas soluciones en este caso son [matemáticas] (a, b) = (1,1) [/ matemáticas] o [matemáticas] (16,11) [/ matemáticas].
Suponga que [matemática] b <0 [/ matemática]. Entonces [matemática] a \ ne 0 [/ matemática], ya que [matemática] a = 0 [/ matemática] implica [matemática] a ^ 2 + 3b <0 [/ matemática] (y por lo tanto no puede ser un cuadrado). Entonces, usando las notaciones como arriba, [matemáticas] r <0 [/ matemáticas].
Si [matemática] s> 0 [/ matemática], entonces [matemática] a> 0 [/ matemática] y [matemática] 9–4rs> 0 [/ matemática]. Entonces de las ecuaciones. [matemática] (1) [/ matemática] y [matemática] (2), [/ matemática] [matemática] s (2r ^ 2 + 3s)> 0 [/ matemática] (que es cierto de todos modos) y [matemática] r (2s ^ 2 + 3r) 0 \ ldots (3) [/ math]
Si [matemática] s <0 [/ matemática], entonces [matemática] a <0; [/ matemática] no conocemos el signo de [matemática] 9–4rs [/ matemática].
Si [matemáticas] 9–4rs> 0 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] rs = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] r = s = -1 [/ matemática] ( sin solución) o [matemática] \ {r, s \} = \ {- 1, -2 \} [/ matemática] [matemática] \ big (( a, b) = (8, -5) \ big) [/ math].
Si [matemáticas] 9–4rs <0 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] rs \ ge 3 [/ matemáticas], y de las ecuaciones. [matemáticas] (1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2), 2r ^ 2 + 3s <0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2s ^ 2 + 3r <0 [/ matemáticas] [matemáticas] \ ldots ( 4) [/ matemáticas]
Hemos determinado todas las soluciones con [math] a \ ge b \ ge 0 [/ math]. También determinamos todas las soluciones con [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] ambas negativas bajo una restricción. Para encontrar todas las soluciones con [math] b <0 [/ math] necesita un análisis un poco más profundo. Intentaré completarlo si encuentro el tiempo. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]