Suponga que [math] \; p (x) \; [/ math] es un polinomio distinto de cero con coeficientes reales y [math] \; c \; [/ math] es un número real.
Dividiendo [matemáticas] \; p (x) \; [/ matemáticas] por un polinomio [matemáticas] \; q (x), \; [/ math] obtenemos un polinomio [math] \; s (x) \; [/ math] como cociente y un polinomio [math] \; r (x) \; [/ math] como resto donde [math] 0 \ le \ deg r (x) <\ deg q (x). [/ math ]
Aquí obtenemos [matemáticas] \; p (x) = q (x). s (x) + r (x). [/matemáticas]
Por lo tanto, al dividir [matemáticas] \; p (x) \; [/ matemáticas] [matemáticas] \; [/ matemáticas] entre [matemáticas] \; xc \; [/ matemáticas] obtenemos un polinomio [matemáticas] \; s (X) \; [/ math] como cociente y una constante [math] \; r \; [/ math] como resto y obtenemos la relación que
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[matemáticas] p (x) = q (x). (xc) + r [/ matemáticas] ……… .. (1)
De la relación, al poner el valor [math] \; c \; \; [/ math] para [math] \; x \; \; [/ math] en (1), obtenemos
[matemáticas] \; p (c) = r \ ;. [/ matemáticas]
Por lo tanto, el resto de [matemáticas] \; p (x) \; [/ matemáticas] cuando se divide por [matemáticas] \; (xc) \; [/ math] es el número [math] \; p (c) \;. \; [/ math] Este resultado se denomina teorema del resto.
Del mismo resultado que obtenemos, el resto es cero si y solo si [math] \; p (c) \; [/ math] es cero.
Este resultado puede reexpresarse de la siguiente manera:
[matemática] \; xc \; \; [/ matemática] es un factor de [matemática] \; \; p (x) \; \; [/ matemática] si y solo si [matemática] \; p (c) = 0 \ ;. [/ matemáticas]
Este resultado se llama Teorema del factor.
Estos resultados simples son muy útiles en la factorización de polinomios y en la evaluación de residuos en la división por polinomios lineales.
Ejemplo:
Supongamos que queremos encontrar el resto de [matemáticas] \; \; 2x ^ {7} -4x ^ {3} + 8x-12 \; \; [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] \; \; 2x + 4 \; \; [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que el cociente y el resto no se verán afectados al dividir por un número distinto de cero tanto el dividendo como el divisor.
Por lo tanto, encontramos el resto de [matemáticas] \; \; p (x) \; = \; x ^ {7} -2x ^ {3} + 4x-6 \; \; [/ matemáticas] cuando se divide por [matemáticas] \; \; x + 2 \; \; [/ matemáticas]
Al aplicar el teorema del resto, obtenemos que el resto es [math] \; p (-2) = – 128 + 16-8-6 = -126 \; \; [/ math]
ya que [matemáticas] \; \; x + 2 = x – (- 2) \ ;. [/ matemáticas]
Por lo tanto, el resto requerido es [matemáticas] \; \; – 126 \; [/ matemáticas]
Qn. Encuentre el resto de [matemáticas] \; x ^ {3} – 2x + 4 \; \; [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] \; 2x + 1 \;. \; [/ Matemáticas]