El método estándar para resolver la ecuación de Pell.
[matemática] x ^ 2 – dy ^ 2 = 1 [/ matemática], [matemática] \ ldots (1) [/ matemática]
donde [math] d [/ math] es un entero positivo , no cuadrado, es usar la fracción continua de [math] \ sqrt {d} [/ math] para determinar su unidad fundamental [math] {\ epsilon} _d [ /matemáticas].
La unidad fundamental [math] {\ epsilon} _d [/ math] es el número real único [math]> 1 [/ math] tal que todos [math] (x, y) \ in {\ mathbb N} \ times { \ mathbb N} [/ math] ecuación satisfactoria. [matemática] (1) [/ matemática] viene dada por el conjunto
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[matemáticas] S_1 = \ big \ {{\ epsilon} _d ^ n: n \ in \ mathbb N \ big \} [/ math]
o por el conjunto
[matemáticas] S_2 = \ big \ {{\ epsilon} _d ^ {2n}: n \ in \ mathbb N \ big \}. [/ math]
Por qué el conjunto de soluciones debería ser de esta forma es otra historia más larga; Lo guardaré para más tarde .
Por lo tanto, la determinación de la unidad fundamental es crucial para la determinación del conjunto de todos los pares enteros de soluciones [math] (x, y) [/ math] a eqn. [matemáticas] (1) [/ matemáticas].
La fracción continua de [math] \ sqrt {d} [/ math] tiene la forma
[matemáticas] \ big [a_0, \ overline {a_1, \ ldots, a _ {\ ell-1}, 2a_0} \ big] \ ldots (2) [/ math]
donde [math] a_0 = \ lfloor \ sqrt {d} \ rfloor [/ math] y [math] a_k = a _ {\ ell-k} [/ math] para [math] k \ in \ {1,2,3 , \ ldots, \ ell-1 \} [/ math].
Para cualquier número real [math] \ alpha [/ math] con fracción continua [math] \ big [a_0, a_1, a_2, \ ldots, a_n, \ ldots \ big] [/ math], escribamos
[math] \ dfrac {p_n} {q_n} = \ big [a_0, a_1, a_2, \ ldots, a_n \ big] [/ math] para cada [math] n \ ge 0 \ ldots (3) [/ math]
Podemos calcular los términos en las secuencias [math] \ {p_n \} _ {n \ ge 0} [/ math] y [math] \ {q_n \} _ {n \ ge 0} [/ math] a partir de la segunda -orden recurrencias
[matemáticas] p_n = a_n \ cdot p_ {n-1} + p_ {n-2}, q_n = a_n \ cdot q_ {n-1} + q_ {n-2}, [/ math]
con condiciones iniciales [matemática] p_0 = a_0 [/ matemática], [matemática] p_1 = a_0a_1 + 1 [/ matemática], [matemática] q_0 = 1 [/ matemática], [matemática] q_1 = a_1 [/ matemática].
Los números racionales [math] p_n / q_n [/ math] se llaman convergentes a [math] \ alpha [/ math] porque
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ dfrac {p_n} {q_n} = \ alpha [/ math].
Es un hecho que cada solución en enteros positivos [matemática] (x, y) [/ matemática] a eqn. [math] (1) [/ math] surge de un [math] x / y [/ math] convergente a [math] \ sqrt {d} [/ math] . Esto no debería parecer sorprendente a la luz del hecho de que [matemáticas] x ^ 2 \ aprox dy ^ 2 [/ matemáticas] .
Entonces, la pregunta que queda por responder es: ¿Qué convergentes a [math] \ sqrt {d} [/ math] son las soluciones para eqn. [matemáticas] (1) [/ matemáticas].
La respuesta a esto radica en determinar la unidad fundamental, que viene dada por
[matemáticas] {\ epsilon} _d = p _ {\ ell-1} + q _ {\ ell-1} \ sqrt {d} [/ matemáticas]
Prestaciones de préstamos de ecuaciones. [matemáticas] (2) [/ matemáticas] y [matemáticas] (3) [/ matemáticas].
Entonces
[matemáticas] p _ {\ ell-1} ^ 2 – d q _ {\ ell-1} ^ 2 = (-1) ^ {\ ell} \ ldots (4) [/ matemáticas],
y, más generalmente,
[matemáticas] p_ {n \ ell-1} ^ 2 – d q_ {n \ ell-1} ^ 2 = (-1) ^ {n \ ell} \ ldots (5) [/ matemáticas]
Recuerde que [math] \ ell [/ math] denota la duración del período en la fracción continua de [math] \ sqrt {d} [/ math] en la ecuación. [matemáticas] (2) [/ matemáticas].
- Si [math] \ ell [/ math] es par , todas las soluciones a eqn. [matemática] (1) [/ matemática] viene dada por
[matemática] [/ matemática] [matemática] x = p_ {n \ ell-1} [/ matemática] y [matemática] y = q_ {n \ ell-1} [/ matemática], [matemática] n \ in \ mathbb N. [/ math]
- Si [math] \ ell [/ math] es impar , todas las soluciones a eqn. [matemática] (1) [/ matemática] viene dada por
[matemática] [/ matemática] [matemática] x = p_ {2n \ ell-1} [/ matemática] y [matemática] y = q_ {2n \ ell-1} [/ matemática], [matemática] n \ in \ mathbb N. [/ math]
Los siguientes pasos determinan la fracción continua de [math] \ sqrt {8} [/ math]:
[matemáticas] \ sqrt {8} = 2 + \ big (\ sqrt {8} -2 \ big); [/matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {1} {\ sqrt {8} -2} = \ dfrac {\ sqrt {8} +2} {4} = 1 + \ dfrac {\ sqrt {8} -2} {4}; [/matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {4} {\ sqrt {8} -2} = \ sqrt {8} +2 = 4 + \ big (\ sqrt {8} -2 \ big). [/ math]
Tenga en cuenta que el Paso 3 nos lleva de vuelta al Paso 1 . Por lo tanto, obtenemos
[math] \ sqrt {8} = \ big [2, \ overline {1,4} \ big] [/ math].
Entonces [math] \ ell = 2 [/ math], y [math] p _ {\ ell-1} / q _ {\ ell-1} = p_1 / q_1 = 3/1 [/ math]. Por lo tanto, la unidad fundamental [matemáticas] {\ epsilon} _8 = 3 + \ sqrt {8} [/ matemáticas], y todas las soluciones [matemáticas] (x_n, y_n) [/ matemáticas] en pares enteros positivos para
[matemáticas] x ^ 2 – 8y ^ 2 = +1 [/ matemáticas]
se da igualando las partes racionales e irracionales de la ecuación
[matemáticas] x_n + y_n \ sqrt {8} = (3+ \ sqrt {8}) ^ n, n \ in \ mathbb N [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]