Dejar,
N = 185185… .200 veces, que es un número dado. Tenemos que encontrar N mod 99.
Nota: Si un número natural X = 99m + n donde m, n pertenece a números naturales, entonces
X mod 99 = n mod 99.
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Ahora,
N = 185 (1000 ^ 199 + 1000 ^ 198 + 1000 ^ 197 + ……. + 1000 + 1)
= 185 {(990 + 10) ^ 199 + (990 + 10) ^ 198 +…. (990 + 10) +1}
Aquí en la expansión binomial de (990 + 10) ^ n cada término es un múltiplo de 99 excepto 10 ^ n,
Por lo tanto, N mod 99 =
= [185 (10 ^ 199 + 10 ^ 198 +… + 10 + 1)] mod 99
= [185 {10 (100 ^ 99 + 100 ^ 98 +…. + 10 + 1) +1}] mod 99
= [185 {10 ((99 + 1) ^ 99 + (99 + 1) ^ 98 +… + (99 + 1) +1) +1}] mod 99
Aquí en la expansión binomial de (99 + 1) ^ n cada término excepto 1 ^ n es un múltiplo de 99,
Por lo tanto,
N mod 99 =
= [185 {10 (1 + 1 + .. + 1 (100 veces)) + 1}] mod 99
= [185 {10 (99 + 1) +1}] mod 99
= [(99 + 86) (10 + 1)] mod 99
= [(81 + 5) 11] mod 99
= 55 mod 99
= 55
Por lo tanto, la respuesta es 55.