¿Cuáles son algunas de las pruebas de teoría de números más bellas?

Answer 1

Desafortunadamente, la mayoría de los cursos de Matemática discreta no van más allá de los resultados básicos sobre congruencias, a los que puede llegar dentro de una conferencia sobre la introducción de las definiciones y propiedades básicas. En mis tres décadas de enseñanza de Matemática Discreta , rara vez tengo el lujo de más de seis conferencias sobre Teoría de números (y entre [matemáticas] 10 [/ matemáticas] y [matemáticas] 12 [/ matemáticas] cada una en Combinatoria y Teoría de gráficos , que forman El núcleo de los cursos para mí). Esto significa que cualquier resultado “hermoso” que pueda encontrar en la Teoría de números como parte de un curso de Matemática discreta debe provenir de resultados básicos en números primos (las pruebas de resultados avanzados en números primos no son adecuados bajo las restricciones) o en aspectos básicos de congruencias Si agrega la restricción de cubrir los temas en [matemáticas] 6–8 [/ matemáticas] conferencias, digamos, no hay mucho espacio para demasiados resultados.

Así que enumeraré en su lugar lo que puede encontrar en un curso de teoría de números elemental. Voy a enumerar cinco , el único criterio es que estos tienen una prueba elemental, accesible para un lector entusiasta de pregrado.

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• La prueba de Euclides de la infinidad de números primos . Y la generalización de Polya de esta prueba. Y Erdos cuenta la prueba de lo mismo.
• Prueba de Erdos del teorema de Bertrand : siempre hay un primo entre [matemática] n [/ matemática] y [matemática] 2n [/ matemática], para [matemática] n> 1 [/ matemática].
• La prueba elemental del resultado de Fermat de que los primos de la forma [matemática] 4k + 1 [/ matemática] pueden escribirse en la forma [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemática]. Y de una manera esencialmente única .
• La prueba de Dirichlet de que, para cualquier [matemática] \ alfa [/ matemática] irracional , la desigualdad

[matemáticas] \ left | \ alpha – \ dfrac {p} {q} \ right | <\ dfrac {1} {q ^ 2} [/ matemáticas]

tiene infinitas soluciones en números racionales [matemáticas] p / q [/ matemáticas].

• Una prueba elemental de la Ley de Reciprocidad Cuadrática de Gauss : para primos impares distintos, [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas], el par de congruencias

[matemáticas] x ^ 2 \ equiv p \ pmod {q} [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ 2 \ equiv q \ pmod {p} [/ matemáticas]

son solucionables o no pueden resolverse a menos que ambos primos tengan la forma [matemática] 4k + 3. [/matemáticas]

Answer 2

Mis favoritos personales:

(i) La prueba de Euclides de la infinitud de los números primos

Deje que [math] p_1, p_2, \ cdots p_n [/ math] sea una lista de números primos. Entonces [math] p_1p_2 \ cdots p_n + 1 [/ math] es primo o es divisible por algún primo que no está en la lista. Para cualquier lista de números primos, existe al menos un primo más, lo que demuestra inductivamente que hay infinitos primos.

(ii) Un número irracional elevado a un poder irracional puede ser racional.

Si [math] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} [/ math] es racional, nuestra prueba está completa. De lo contrario, [math] (\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}}) ^ {\ sqrt {2}} = \ sqrt {2} ^ 2 = 2 [/ math] es racional y nuestra prueba está completa.

(iii) Prueba teórica grupal del pequeño teorema de Fermat

Este requiere un poco de teoría de grupo, y puede omitirlo si no conoce el área. El orden de [math] \ Z_ {p} ^ {\ times} [/ math], definido de la manera estándar, para cualquier primo [math] p, [/ math] es [math] p-1 [/ math] . Del teorema de Lagrange, el orden de cualquier elemento del grupo divide [math] p-1 [/ math]. Por lo tanto, para cualquier [matemática] a [/ matemática] no divisible por [matemática] p [/ matemática], [matemática] a ^ {p-1} \ equiv 1 \ pmod {p} [/ matemática].

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Las mejores pruebas en matemáticas son elegantes e interesantes, y revelan hechos profundos sobre el teorema que están probando, por supuesto, pero también sobre las matemáticas en general. Las tres pruebas que he mencionado son mis favoritas porque no solo le enseñan un teorema, sino también los patrones de pensamiento necesarios para comprender y probar otros teoremas de este tipo en matemáticas.

Answer 3

Yo también creo que la prueba de que hay un número infinito de números primos es la prueba más hermosa de la teoría de números.

Me encanta la prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional, pero esa no es una prueba de teoría de números.

Hay algunas proposiciones muy simples de teoría de números para las que no existe ninguna prueba, hasta ahora.

Un ejemplo es la conjetura de Twin Prime. Los primos gemelos son dos números impares consecutivos que son primos. Por ejemplo, 17 y 19 son primos gemelos, al igual que 41 y 43. La Conjetura de los primos gemelos establece que hay un número infinito de estos. Con las computadoras modernas, hemos encontrado enormes pares de primos gemelos, y la mayoría de los matemáticos piensan que esta conjetura es cierta.

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Aquí está una de mis propuestas favoritas de teoría de números. (Se ha demostrado que usa la inducción matemática, por lo que no es la prueba en sí misma lo que es hermoso, sino que es la proposición lo que es hermoso).

La proposición tiene que ver con una fórmula para la suma de los primeros N cubos:

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + 4 ^ 3 + \ cdots + N ^ 3 [/ matemáticas]

Tomemos algunos de los términos de esto para ver si podemos encontrar un patrón:

[matemáticas] 1 ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 = 36 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + 4 ^ 3 = 100 [/ matemáticas]

Mira los lados derechos. Tenga en cuenta que, sorprendentemente, ¡son todos cuadrados perfectos! Escribamos esto nuevamente usando el hecho de que estas sumas son cuadrados perfectos:

[matemáticas] 1 ^ 3 = 1 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 = 3 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 = 6 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + 4 ^ 3 = {10} ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora mire los números que están al cuadrado: 1, 3, 6, 10. ¿Hay un patrón para estos?

Sí, y es hermoso:

[matemáticas] 1 = 1 [/ matemáticas] (¡impactante!)

[matemáticas] 3 = 1 + 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6 = 1 + 2 + 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 10 = 1 + 2 + 3 + 4 [/ matemáticas]

Así que ahora podemos reescribir las sumas de los cubos de esta manera:

[matemáticas] 1 ^ 3 = 1 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 = (1 + 2) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 = (1 + 2 + 3) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + 4 ^ 3 = (1 + 2 + 3 + 4) ^ 2 [/ matemáticas]

Generalizando esto, obtenemos:

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + 4 ^ 3 + \ cdots + N ^ 3 = (1 + 2 + 3 + 4 + \ cdots + N) ^ 2 [/ matemáticas]

Que hermoso es eso La suma de los primeros N cubos es el cuadrado de la suma de los primeros N números.

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Por cierto, el lado derecho se puede escribir de manera más simple, pero menos bella, si conoce la fórmula para la suma de los primeros N números:

[matemáticas] 1 + 2 + 3 + 4 + \ cdots + N = \ frac {N (N + 1)} {2} [/ matemáticas]

Esto nos da nuestra expresión final:

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + 4 ^ 3 + \ cdots + N ^ 3 = \ frac {N ^ 2 (N + 1) ^ 2} {4} [/ matemáticas]

Answer 4

El teorema fundamental de la aritmética en sí tiene una de las mejores pruebas. Tiene algunas extensiones y generalizaciones muy bonitas también.

En la teoría algebraica de números, uno eventualmente estudia cosas llamadas “campos numéricos” que son extensiones de los números racionales. Un campo numérico tiene dentro de él un subconjunto llamado su anillo de enteros que está relacionado con él de forma análoga a la forma en que los enteros ordinarios están relacionados con los números racionales.

A veces, el anillo de enteros de un campo numérico tiene una factorización única. Por ejemplo, los números complejos de la forma [matemática] a + bi [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​números racionales es un campo numérico y su anillo de enteros son los [math] a + bi [/ math] donde [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​enteros. Estos se conocen como los enteros gaussianos. Los enteros gaussianos satisfacen el teorema fundamental de la aritmética. Hay una buena prueba de eso (aunque es un poco más complicado que la misma prueba para los enteros). Algunos factores enteros cuando vas a los enteros gaussianos, como [matemáticas] 5 = (2 + i) (2-i) [/ matemáticas] pero luego [matemáticas] 2 + i [/ matemáticas] y [matemáticas] 2-i [/ math] son ​​números primos en los enteros gaussianos. Dos factorizaciones en números primos son equivalentes a factores de [matemática] 1, -1, i [/ matemática] y [matemática] -i [/ matemática] porque estas son las “unidades”, los elementos en los enteros gaussianos cuyos recíprocos también están en los enteros gaussianos. Se dice que el primer 5 se “divide” en la extensión.

En otros campos numéricos, la factorización única falla. Por ejemplo, los números de la forma [matemática] a + b \ sqrt {-5} [/ matemática] forman un campo numérico. El anillo de enteros en él consiste en los números de la forma [math] a + b \ sqrt {-5} [/ math] donde tanto [math] a [/ math] como [math] b [/ math] son ​​enteros . El número 6 no tiene un factor exclusivo en este anillo. Se puede factorizar como [math] (2) (3) [/ math] o como [math] (1+ \ sqrt {-5}) (1- \ sqrt {-5}) [/ math] y estos son formas incompatibles de factorizarlo.

Sin embargo, hay una forma de parchear la factorización única. Hay un tipo más general de divisor conocido como “divisor ideal” (o, a menudo, simplemente “ideal”) en el anillo de los enteros. La factorización en los ideales del anillo de enteros es única. Hay una medida, conocida como el número de clase del campo, de cuán lejos se encuentra la factorización única (en términos generales, cuántas veces hay tantos divisores ideales como divisores provenientes de elementos del anillo de enteros). Hay otra prueba bonita de que el número de clase es finito. Si su estudio lo lleva en esta dirección, puede leerlo en el enlace de Minkowski: Wikipedia. Hay un argumento geométrico usado para mostrar cómo podemos descubrir cómo son todos los divisores ideales.

Esta forma de reparar la factorización única se utilizó en el siglo XIX para demostrar que el último teorema de Fermat es válido para muchos números primos, aunque para algunos números primos esto falla. (Prime prime – Wikipedia.)

Hay algunas generalizaciones adicionales, algunas de ellas en geometría algebraica.