¿Cuál es el comportamiento asintótico de [matemáticas] \ displaystyle \ sum_p p ^ {-1/2} [/ matemáticas] (para todos los números primos p) y por qué?

Answer 1

Es fácil mostrar que la suma diverge (es mayor que la suma de los recíprocos de los números primos que divergen). ¿Pero qué pasa con el comportamiento asintótico?

Del teorema del número primo obtenemos

[matemáticas] \ sum_ {p} \ frac {1} {\ sqrt {p}} \ approx \ int_ {2} ^ {p} \ frac {1} {\ sqrt {x \ log {x}}} dx [ /matemáticas].

Entonces tenemos que responder cuál es el comportamiento asintótico de esa integral.

Podemos calcular la integral, es igual a [matemáticas] \ sqrt {8p} \ cdot F \ left (\ frac {\ sqrt {\ log {p}}} {\ sqrt {2}} \ right) + constante [ / math], donde [math] F [/ math] es la función Dawson.

Para grandes [matemáticas] z [/ matemáticas], la función Dawson tiene la expansión asintótica [matemáticas] F (z) = \ frac {1} {2z} + O (z ^ {- 3}) [/ matemáticas]. Podemos enchufar eso para obtener

[matemáticas] \ sum_ {p} \ frac {1} {\ sqrt {p}} \ approx \ sqrt {8p} \ cdot \ left (\ frac {1} {2 \ left (\ frac {\ sqrt {\ log {p}}} {\ sqrt {2}} \ right)} + O \ left (\ left (\ frac {\ sqrt {\ log {p}}} {\ sqrt {2}} \ right) ^ {- 3} \ right) \ right) + constante [/ math]

Lo que da

[matemática] \ sum_ {p} \ frac {1} {\ sqrt {p}} \ approx \ frac {2 \ sqrt {p}} {\ sqrt {\ log {p}}} [/ math] (más bajo términos de pedido).

Entonces, la suma se comporta como [math] \ frac {2 \ sqrt {p}} {\ sqrt {\ log {p}}} [/ math] para grandes [math] p [/ math].

Answer 2

Hay una prueba de Euler del año 1737 que establece que la suma de los recíprocos de todos los números primos diverge:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {p \, \ textrm {prime}} \ frac {1} {p} = \ infty [/ math]

Se puede demostrar que las sumas parciales que usan todos los números primos [math] \ le n [/ math] crecen como [math] O (\ ln \ ln n [/ math]).

La prueba se puede encontrar aquí: divergencia de la suma de los recíprocos de los números primos – Wikipedia

Por lo tanto, por la prueba de comparación

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {p \, \ textrm {prime}} \ frac {1} {\ sqrt {p}} = \ infty [/ math]

debe divergir también, ya que [math] \ frac {1} {\ sqrt {p}}> \ frac {1} {p} [/ math] para todos los números primos [math] p [/ math].

Si usamos [math] p_i [/ ​​math] como el número primo [math] i [/ math], está claro que

[matemáticas] S_n = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {1} {\ sqrt {p_i}} [/ matemáticas]

crece más rápido que la serie armónica

[matemáticas] H_n = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {1} {i} [/ matemáticas]

que se sabe que tiene un crecimiento [matemático] O (\ ln n) [/ matemático], pero debe crecer más lento que [matemático] O (n) [/ matemático].

Resulta que el crecimiento de [math] S_n [/ math] es aproximadamente [math] O \ left (\ sqrt [2.3] n \ right) [/ math].