La Ley de reciprocidad cuadrática , reciprocidad cuadrática – Wikipedia, es sin duda una de las obras maestras del gran matemático alemán, CF Gauss . La Ley dice que, para distintos números primos impares , [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas],
[matemáticas] \ left (\ dfrac {p} {q} \ right) \ left (\ dfrac {q} {p} \ right) = (-1) ^ {(p-1) (q-1) / 4 }[/matemáticas].
Así [matemáticas] \ left (\ dfrac {p} {q} \ right) = \ left (\ dfrac {q} {p} \ right) [/ math] a menos que tanto [math] p [/ math] como [math ] q [/ math] tiene la forma [math] 4k + 3 [/ math], en cuyo caso uno es negativo del otro.
[matemáticas] \ left (\ dfrac {3} {53} \ right) = \ left (\ dfrac {53} {3} \ right) [/ math] por la Ley de Reciprocidad Cuadrática
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[math] = \ left (\ dfrac {-1} {3} \ right) [/ math] desde [math] 53 \ equiv -1 \ pmod {3} [/ math]
[math] = (-1) ^ {(3-1) / 2} [/ math] ya que [math] \ big (\ frac {a} {p} \ big) \ equiv a ^ {(p-1) / 2} \ pmod {p} [/ matemáticas]
[matemáticas] = -1. [/ matemáticas] [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]