Prueba por inducción matemática
- Comencemos demostrando que es un múltiplo de 6 cuando n = 1
R = n ^ 3 – n
Por lo tanto R (1) = 1 ^ 3 – 1 = 0
0 es el múltiplo de cada entero positivo, por lo que es válido para n = 1
- Cómo demostrar por recurrencia para [matemáticas] p> 0 [/ matemáticas] que [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ p \ dfrac {1} {n (n + 1) (n + 2)} = \ dfrac {p (p + 3)} {4 (p + 1) (p + 2)} [/ math]
- ¿Se ha demostrado la conjetura de legendre de que siempre existe un primo mayor que n ^ 2 y menor que (n + 1) ^ 2?
- ¿Cuál será el resto cuando 86 * 293 * 4919 se divide por 17?
- ¿Alguien puede diseñar una estructura de datos para almacenar números enteros que sea tan ineficiente que el TC (el mejor caso) para recuperar un número entero es [math] O (n ^ 2) [/ math]?
- ¿Cuál es el factor L en la hipótesis de Riemann?
- Ahora supongamos que esto es cierto para n = k
R (k) = k ^ 3 – k
Por lo tanto, k ^ 3 – k debe ser igual a algún múltiplo de 6
Por lo tanto k ^ 3 – k = 6m
- Ahora para n = (k + 1)
R (k + 1) = (k + 1) ^ 3 – (k + 1)
= (k ^ 2 + 2k + 1) (k + 1) – k – 1
= k ^ 3 + k ^ 2 + 2k ^ 2 + 2k + k + 1 – k – 1
= k ^ 3 + 3k ^ 2 + 2k
= k ^ 3 – k + 3k ^ 2 + 3k
= (k ^ 3 – k) + 3 (k ^ 2 + k)
= 6m + 3 (k ^ 2 + k)
Ahora ve que la primera parte, (k ^ 3 – k), es divisible por 6
Para que todo sea divisible por 6, necesita la segunda parte, 3 (k ^ 2 + k), que también sea divisible por 6
Es obvio que es divisible por 3, por lo que solo necesita ser divisible por 2.
Supongamos que k es par, entonces k = 2p para alguna p natural,
k ^ 2 + k = (2p) ^ 2 + (2p) = 4p ^ 2 + 2p = 2 (2p ^ 2 + p),
Que es divisible por 2
¡Ahora es lo mismo si k es extraño! (Intenta demostrarlo si quieres, k = 2p + 1)
Por lo tanto, 3 (k ^ 2 + k) siempre será divisible por 6
Lo que demuestra que R (k + 1) siempre es cierto para cualquier R (k)
Lo que confirma que R = n ^ 3 – n siempre da un múltiplo de 6 para cualquier valor natural de n