Cómo demostrar por recurrencia para [matemáticas] p> 0 [/ matemáticas] que [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ p \ dfrac {1} {n (n + 1) (n + 2)} = \ dfrac {p (p + 3)} {4 (p + 1) (p + 2)} [/ math]

Answer 1

¡Hola! Estoy dando una respuesta más algebraica, que encuentro más interesante, aunque las pruebas basadas en inducción están perfectamente bien.

Primero simplifica,

[matemáticas] \ dfrac {1} {n (n + 1) (n + 2)} = \ dfrac {(n + 2) – (n + 1)} {n (n + 1) (n + 2)} [/matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {(n + 2)} {n (n + 1) (n + 2)} – \ dfrac {(n + 1)} {n (n + 1) (n + 2)} [ /matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {n (n + 1)} – \ dfrac {1} {n (n + 2)} [/ matemáticas] = [matemáticas] \ dfrac {(n + 1) -n} {n (n + 1)} – \ dfrac {2} {2n (n + 2)} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {(n + 1) -n} {n (n + 1)} – \ dfrac {(n + 2) -n} {2n (n + 2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {(n + 1)} {n (n + 1)} – \ dfrac {n} {n (n + 1)} \ right) – \ dfrac {1} {2} \ left (\ dfrac {(n + 2)} {n (n + 2)} – \ dfrac {n} {n (n + 2)} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {1} {n} – \ dfrac {1} {(n + 1)} \ right) – \ dfrac {1} {2} \ left (\ dfrac {1} {n } – \ dfrac {1} {(n + 2)} \ right) [/ math]

Ahora, sumando la primera parte

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {p} \ left (\ dfrac {1} {n} – \ dfrac {1} {(n + 1)} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {1} {1} + \ cdots + \ dfrac {1} {p} \ right) – \ left (\ dfrac {1} {2} + \ cdots + \ dfrac {1} { p + 1} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {1} – \ dfrac {1} {p + 1} [/ matemáticas]

Ahora, sumando la segunda parte,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {p} \ left (\ dfrac {1} {n} – \ dfrac {1} {(n + 2)} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {1} {1} + \ cdots + \ dfrac {1} {p} \ right) – \ left (\ dfrac {1} {3} + \ cdots + \ dfrac {1} { p + 2} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {1} + \ dfrac {1} {2} – \ dfrac {1} {p + 1} – \ dfrac {1} {p + 2} [/ matemáticas]

Entonces, la respuesta final sería,

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {1} {1} – \ dfrac {1} {p + 1} \ right) – \ dfrac {1} {2} \ left (\ dfrac {1} {1} + \ dfrac {1} {2} – \ dfrac {1} {p + 1} – \ dfrac {1} {p + 2} \ right) [/ math]

Tras una mayor simplificación,

[matemáticas] = \ left (1- \ dfrac {3} {4} \ right) + \ left (\ dfrac {1} {2 (p + 1)} + \ dfrac {1} {2 (p + 2) } – \ dfrac {1} {p + 1} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {1} {4} \ right) + \ left (\ dfrac {1} {2 (p + 2)} – \ dfrac {1} {2 (p + 1)} \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {1} {4} \ right) + \ dfrac {1} {2} \ left (\ dfrac {1} {(p + 2)} – \ dfrac {1} {( p + 1)} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {1} {4} \ right) + \ dfrac {1} {2} \ left (\ dfrac {(p + 1)} {(p + 1) (p + 2) } – \ dfrac {(p + 2)} {(p + 1) (p + 2)} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {1} {4} \ right) – \ dfrac {1} {2 (p + 1) (p + 2)} [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {(p + 1) (p + 2) -2} {4 (p + 1) (p + 2)} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {p ^ 2 + 3p + 2-2} {4 (p + 1) (p + 2)} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ dfrac {p ^ 2 + 3p} {4 (p + 1) (p + 2)} \ right) = \ left (\ dfrac {p (p + 3)} {4 (p +1) (p + 2)} \ right) [/ math]

Por lo tanto, probado.

PD: Aprendí látex solo por esta pregunta, ¡gracias! ¡y bienvenido!

Answer 2

En realidad, la fórmula está bien, la probé para p = 1, 2, 3

Prueba por inducción completa:

Mire p-1 primero. La fórmula da la suma como (p-1) (p + 2) / 4p (p + 1)

Ahora agregue el valor para p: 1 / p (p + 1) (p + 2)

Use 4p (p + 1) (p + 2) como el denominador común y agregue:

numerador 1: (p-1) (p + 2) (p + 2)

numerador2: 4

suma: p3 + 4p2 + 4p -p2–4p -4 + 4 = p3 + 3p2 QED

Lo sentimos, no tengo látex, p3 significa p para la tercera potencia, etc.

Answer 3

Es una afirmación falsa.

Si p va al infinito, entonces la suma converge a un elemento finito, mientras que el segundo término va al infinito.

Por lo tanto, no puede probarlo, por inducción o de otra manera.

Editar: Además, cada término de la suma es estrictamente inferior a uno. Por lo tanto, la suma de 1 a p es estrictamente inferior a p. El segundo término de esta supuesta igualdad es un producto de enteros estrictamente más grandes que p (ya que los productos contienen p).

Editar: la pregunta había cambiado. El original no presentaba ninguna fracción para el segundo término. En cambio, fue una multiplicación.

Answer 4

Este es el método de recurrencia:

1 / n (n + 1) -1 / (n + 1) (n + 2) = 2 / n (n + 1)

1/1 * 2–1 / 2 * 3 = 2/1 * 2 * 3

1/2 * 3–1 / 3 * 4 = 2/2 * 3 * 4

1/3 * 4–1 / 4 * 5 = 2/3 * 4 * 5

…………………………………

1 / (p-1) p-1 / p (p + 1) = 2 / (p-1) p (p + 1)

1 / p (p + 1) -1 / (p + 1) (p + 2) = 2 / p (p + 1) (p + 2)

SUMANDO:

1/1 * 2–1 / (p + 1) (p + 2) = 2 (1/1 * 2 * 3 + 1/2 * 3 * 4 + 1/3 * 4 * 5 + …… 1 / p (p + 1) (p + 2)

{(p + 1) (p + 2) -2} / 2 (p + 1) (p + 2) = ~~~~~~~~

(p² + 3p) / 2 (p + 1) (p + 2) = 2S (n)

[1 → p] S (n) = ¼p (p + 3) / (p + 1) (p + 2)