Sea [math] n = \ prod \ limits_i p_i ^ {\ alpha_i} [/ math], donde [math] p_i [/ math] son números primos distintos. Por ejemplo, [matemática] 18 = 2 ^ 1 \ cdot 3 ^ 2 [/ matemática], dando [matemática] p_1 = 2 [/ matemática], [matemática] p_2 = 3 [/ matemática], [matemática] \ alpha_1 = 1 [/ matemática], [matemática] \ alpha_2 = 2 [/ matemática]. Para cada [matemática] i [/ matemática], [matemática] a [/ matemática] contiene un factor de [matemática] p_i [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] contiene un factor de [matemática] p_i [ / matemáticas], o tampoco lo hacen. Hay [matemática] \ alpha_i [/ matemática] formas para que [matemática] a [/ matemática] contenga un factor, [matemática] \ alpha_i [/ matemática] formas para que [matemática] b [/ matemática] contenga un factor, y 1 manera para que ninguno contenga un factor de [math] p_i [/ math]. Entonces hay [math] 2 \ alpha_i + 1 [/ math] formas en que [math] p_i [/ math] puede aparecer en [math] a [/ math] y [math] b [/ math].
Combinando el número de formas en que podemos poner cada [matemática] p_i [/ matemática] en [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], hay [matemática] \ prod \ limits_i (2 \ alpha_i + 1) [/ math] formas de distribuir todos los factores primos de [math] n [/ math] entre [math] a [/ math] y [math] b [/ math]. Esto resuelve su problema, excepto un problema potencial. ¿Son [matemáticas] a = 2, b = 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 3, b = 2 [/ matemáticas] soluciones distintas? Si es así, la respuesta es válida. Si se consideran iguales, debemos dividir entre 2 para eliminar las soluciones repetidas. También necesitamos agregar 1 antes de la división para tener en cuenta el hecho de que [math] a = 1, b = 1 [/ math] no se repite. Entonces la respuesta se convierte en [math] \ frac {1 + \ prod_i (2 \ alpha_i + 1)} {2} [/ math].
Para nuestro ejemplo con [math] n = 18 [/ math], esto nos da una respuesta de 15 u 8.
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