La suma de n términos de AP es pn + qn * n. Si pyq son constantes, ¿cómo encuentras la diferencia común?

Answer 1

Deje que [math] t_n [/ math] denote el término [math] n [/ math] th y [math] S_n [/ math] la suma de los primeros términos [math] n [/ math] de un AP con diferencia común [matemáticas] d [/ matemáticas]. Así

[matemática] t_n = t_1 + (n-1) d [/ matemática] y [matemática] S_n = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n t_k = pn + qn ^ 2 [/ matemática].

Dado que [math] d = t_ {n + 1} -t_n [/ math] para cada [math] n \ in \ mathbb N [/ math], suma y resta [math] S_n [/ math] al término en el RHS y observando que [matemáticas] S_n = S_ {n-1} + t_n [/ matemáticas]

[matemáticas] d = \ big (t_ {n + 1} + S_n \ big) – \ big (t_n + S_ {n-1} + t_n \ big) [/ math]

[matemáticas] = S_ {n + 1} – S_n – t_n [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ big (p (n + 1) + q (n + 1) ^ 2 \ big) – \ big (pn + qn ^ 2 \ big) – t_n [/ math]

[matemáticas] = p + q (2n + 1) -t_n [/ matemáticas]

[matemática] = p + q (2n + 1) – \ grande (t_1 + (n-1) d \ grande) [/ matemática].

Por lo tanto

[matemática] nd = (p + q-t_1) + 2qn = 2qn [/ matemática] (ya que [matemática] t_1 = S_1 = p + q [/ matemática]), de modo que [matemática] d = 2q [/ matemática] .

Nota. Es importante mostrar que [math] t_ {n + 1} -t_n [/ math] es constante para cada [math] n \ in \ mathbb N [/ math]. Si esto se supiera , [matemáticas] d = t_2-t_1 = (t_2 + t_1) -2t_1 = S_2–2S_1 = (2p + 4q) -2 (p + q) = 2q [/ matemáticas]. Sin embargo, no podemos simplemente aplicar la fórmula [math] d = t_2-t_1 [/ math] ya que no hay garantía de que [math] t_2-t_1 [/ math] también sea igual a [math] t_ {n + 1} -t_n [/ math] para cada [math] n> 2 [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

La suma de los términos [math] n [/ math] de un [math] AP [/ math] es:

[matemáticas] \ begin {align *} S_n & = \ left (\ dfrac {n} {2} \ right) \ left (2a + (n-1) d \ right) \\ & = an + \ dfrac {n (n -1)} {2} d \\ & = an + \ dfrac {n ^ 2} {2} d- \ dfrac {n} {2} d \\ & = n \ left (a- \ dfrac {d} { 2} \ right) + n ^ 2 \ left (\ dfrac {1} {2} d \ right) \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

---

Ahora,

[matemáticas] (pn + qn ^ 2) \ equiv n \ left (a- \ dfrac {d} {2} \ right) + n ^ 2 \ left (\ dfrac {1} {2} d \ right) \ tag *{}[/matemáticas]

Comparando los coeficientes de [matemáticas] n ^ 2: [/ matemáticas]

[matemáticas] q = \ dfrac {1} {2} d \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[math] \ boxed {2q = d} \ tag * {} [/ math]